Chắc hẳn với các bạn học sinh lớp 11 đang hướng đến học sinh giỏi hay muốn nâng cao kỹ năng giải Toán thì bộ đề thi thử học sinh giỏi sau đây rất hữu ích. Đây là đề thi thử chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 11 của trường THPT Trần Văn Lan, tỉnh Nam Định, năm học 2023 – 2024. Đề thi có kèm đáp án và hướng dẫn chấm điểm, giúp các em dễ dàng theo dõi và đối chiếu kết quả.
Câu 1 (2 điểm): Tính chiều cao tháp chàm Por Klong Garai
Bài toán về khoảng cách và góc trong thực tế sẽ giúp các em làm quen với ứng dụng hình học trong đời sống. Cụ thể, để đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận, người ta chọn hai điểm A và B trên mặt đất cách chân tháp C một đoạn AB = 12 m thẳng hàng. Hai giác kế được đặt tại A và B, mỗi giác kế có chân cao 1,3 m.
Gọi D là đỉnh tháp, A1 và B1 là các điểm trên chiều cao CD thẳng hàng với C tương ứng với vị trí chân giác kế. Người ta đo được góc DAC = 49° và DBC = 35°. Yêu cầu tính chiều cao CD của tháp.
Đây là bài tập hay gặp trong luyện thi học sinh giỏi để phát triển kỹ năng vận dụng kiến thức góc và tam giác đồng dạng để giải bài toán thực tiễn. Các em cần vẽ hình cẩn thận, xác định các tam giác, sử dụng các góc đã cho để tìm các đoạn thẳng rồi tính chiều cao tháp.
Câu 2 (2 điểm): Bài toán tối ưu thuê xe chở người và hàng
Bài toán về quản lý nguồn lực và tối ưu chi phí trong thực tế khá thú vị. Một trường học cần thuê xe chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê có hai loại xe A và B:
- Xe A: 10 chiếc có thể chở tối đa 20 người và 0,6 tấn hàng, giá thuê 4 triệu đồng/chiếc
- Xe B: 9 chiếc có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng, giá thuê 3 triệu đồng/chiếc
Câu hỏi đặt ra: Nhà trường nên thuê bao nhiêu chiếc mỗi loại để vừa đủ chở người, chở hàng, đồng thời chi phí thuê thấp nhất?
Bài tập này giúp các em làm quen với mô hình bài toán tuyến tính và tối thiểu hóa chi phí, một dạng quan trọng trong toán ứng dụng và quản lý. Việc giải yêu cầu nắm chắc cách biểu diễn các điều kiện thực tế thành bất phương trình và sử dụng kỹ năng giải hệ bất phương trình để tìm phương án tối ưu.
Câu 3 (3 điểm): Hình chóp và các phép tính hình học không gian
Bài tập cuối cùng là một bài hình học không gian với hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất cả các cạnh bên đều bằng a. Gọi điểm M thuộc cạnh SD sao cho SD = 3SM và G là trọng tâm tam giác BCD.
- a) Gọi (α) là mặt phẳng chứa MG và song song với CD. Hãy xác định và tính diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (α).
- b) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD sao cho PQ song song với SC. Tính độ dài PQ theo a.
Đây là dạng bài quan trọng giúp các em vận dụng kiến thức hình học không gian như trọng tâm, mặt phẳng song song, tính diện tích mặt cắt, cũng như các phép biến hình và tỉ lệ đoạn thẳng trong không gian. Bài tập này đòi hỏi tư duy logic và kỹ năng phối hợp các kiến thức để giải quyết vấn đề.
Nhìn chung, đề thi thử này tập hợp nhiều dạng bài ở mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng cao, rất phù hợp để các em lớp 11 rèn luyện, nâng cao kỹ năng làm bài thi học sinh giỏi. Các em chú ý làm bài nghiêm túc, phân phối thời gian hợp lý để đạt kết quả tốt nhất.
