Chào các em, hôm nay thầy/cô muốn giới thiệu đến các bạn đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho lớp 12 năm học 2022-2023 tại tỉnh Sóc Trăng. Đây là đề thi với thời gian làm bài 180 phút, gồm nhiều câu hỏi đòi hỏi các em vận dụng kiến thức và kỹ năng tính toán chặt chẽ. Làm quen với dạng đề này rất hữu ích để các em củng cố kiến thức, rèn luyện tư duy và nâng cao khả năng giải toán.
Bài 1 (6 điểm)
Bài đầu tiên gồm 3 phần nhỏ:
- Phần 1: Giải phương trình
( cos^3 x - 3sin^3 x + 2 sin^3 frac{x}{3} + 2 - 2 sin x = 0 ).
Các em chú ý cách sử dụng các công thức lượng giác và biến đổi để giải phương trình này. - Phần 2: Cho hai số thực x và y thỏa mãn điều kiện ( y leq 10 ) và phương trình
( 3x^2 + 2x + 2y^2 + y^3 - 43y + 40 = 0 ).
Nhiệm vụ của chúng ta là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
( P = 3x^2 + y^2 + 2xy - 3 ).
Đây là một dạng bài đòi hỏi áp dụng kỹ thuật đưa về bài toán cực trị với điều kiện ràng buộc. - Phần 3: Một bài toán thực tế vận dụng kiến thức cùng kỹ năng phân tích và tính toán thời gian hợp lý.
Có 12 xe của một công ty tại khu công nghiệp An Nghiệp – Sóc Trăng đưa công nhân về bến lúc 5 giờ chiều. Mỗi tài xế có hai lựa chọn để đi về:
+ Đường quốc lộ: thời gian cố định 60 phút, không bị kẹt xe.
+ Đường nội thành: đường ngắn hơn nhưng nhỏ và giờ cao điểm kẹt xe. Xe đầu tiên đi mất 25 phút, mỗi xe tiếp theo nếu cùng đi theo đường này thì thời gian đi sẽ tăng thêm 5 phút so với xe trước đó.
Với tình huống này, chúng ta cần phân tích và đưa ra lựa chọn thời gian hợp lý cho các xe.
