Nhân dịp năm học 2023 – 2024, chúng ta có đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11 của cụm Tân Yên, tỉnh Bắc Giang. Đây là bộ đề rất giá trị dành cho các em học sinh lớp 11 muốn nâng cao khả năng tư duy toán học và làm quen với các dạng bài tập khó hơn. Thầy/cô chia sẻ để các em tiện ôn tập và luyện giải.
1. Bài toán xác suất trong sản xuất công nghiệp
Một công ty may mặc có hai hệ thống máy hoạt động độc lập. Xác suất hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, hệ thống máy thứ hai là 85%. Công ty chỉ hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Vậy xác suất công ty hoàn thành đúng hạn là bao nhiêu?
Lời giải hướng dẫn: Đây là bài toán xác suất liên quan đến hai biến cố độc lập A và B tương ứng với việc hệ thống máy thứ nhất và thứ hai hoạt động tốt. Xác suất để công ty không hoàn thành đúng hạn là khi cả hai hệ thống đều không hoạt động tốt, tức là xác suất P(A') × P(B') = (1 - 0.95) × (1 - 0.85) = 0.05 × 0.15 = 0.0075. Vậy xác suất công ty hoàn thành đúng hạn là 1 - 0.0075 = 0.9925 (hay 99,25%). Các bạn nhớ kỹ cách tính xác suất biến cố đối nhau trong trường hợp độc lập nhé.
2. Bài toán logarit và thang Richter đo cường độ động đất
Độ lớn M của một trận động đất theo thang Richter tính bằng công thức M = 92 log (A / A0), trong đó A là biên độ lớn nhất ghi được bởi máy đo địa chấn, A0 là biên độ tiêu chuẩn dùng hiệu chỉnh sai số do khoảng cách tới tâm chấn (thường A0 = 1.0 70m0).
Cụ thể, trận động đất lớn nhất lịch sử ở Chilê năm 1960 có cường độ 9,5 độ Richter. Trận động đất ở Syria và Thổ Nhĩ Kỳ năm 2023 có cường độ 7,8 độ Richter. Câu hỏi đặt ra: Biên độ mạnh của trận động đất ở Chilê lớn hơn bao nhiêu lần so với trận ở Syria và Thổ Nhĩ Kỳ? (Làm tròn đến hàng đơn vị)
Hướng dẫn: Chúng ta có
M = log (A / A0) => A / A0 = 10M
Vậy
Biên độ Chilê / Biên độ Syria-Thổ Nhĩ Kỳ = 109.5 / 107.8 = 109.5 - 7.8 = 101.7
Tính xấp xỉ 101.7 ≈ 50. Như vậy, cường độ động đất ở Chilê lớn hơn khoảng 50 lần so với trận động đất ở Syria và Thổ Nhĩ Kỳ.
Bài này thường được dùng để ôn tập kiến thức logarit và hiểu ứng dụng thực tế trong tính chất vật lý.
3. Bài tập xác suất biến cố và tính chất biến cố xung khắc, biến cố độc lập
Cho hai biến cố A và B thoả mãn các xác suất P(A) = 0,3; P(B) = 0,4 và P(A 6 B) = 0,2. Trong trường hợp này, câu hỏi đặt ra là mệnh đề nào sau đây đúng?
- A. Hai biến cố A và B không xung khắc và không độc lập.
- B. Hai biến cố A và B là hai biến cố độc lập.
- C. Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc.
- D. Hai biến cố A và B là hai biến cố xung khắc nhưng không độc lập.
Phân tích: Hai biến cố xung khắc thì P(A 6 B) = 0, nhưng ta có P(A 6 B) = 0,2 > 0 nên không xung khắc. Để kiểm tra độc lập, kiểm tra điều kiện P(A 6 B) = P(A) × P(B) = 0,3 × 0,4 = 0,12. Vì P(A 6 B) = 0,2 3 6 0,12 nên A và B không độc lập.
Kết luận: Mệnh đề đúng là A. Hai biến cố A và B không xung khắc và không độc lập.
Những câu hỏi như vậy giúp các em hiểu và phân biệt rõ các khái niệm biến cố độc lập, biến cố xung khắc - rất cần thiết trong phần xác suất thống kê.
Hy vọng bộ đề thi chọn học sinh giỏi này sẽ giúp các bạn học sinh nâng cao vốn kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài theo hướng phân tích, vận dụng thực tế. Các em chú ý luyện tập cẩn thận từng câu để không bị hụt kiến thức trọng tâm khi thi đua học sinh giỏi.
Thầy/cô khuyên các em nên chăm chỉ phân tích đề, so sánh từng bước giải, để từ đó nắm chắc kiến thức và tăng sự tự tin trong các kỳ thi quan trọng sắp tới.
