Hôm nay thầy cô và các em học sinh lớp 10 mình cùng tìm hiểu đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán năm học 2023-2024 của cụm Tân Yên, tỉnh Bắc Giang. Đây là đề thi rất hay, bám sát chương trình và có cả phần đáp án cùng hướng dẫn chấm điểm giúp các em ôn luyện hiệu quả.
I. Một số bài toán thực tế tiêu biểu trong đề thi
Bài toán 1:
Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại hiện đang tập trung phát triển dòng xe Honda Future Fi. Chi phí mua vào mỗi chiếc xe là 27 triệu đồng, giá bán là 31 triệu đồng. Với mức giá này, dự kiến khách hàng mua 600 chiếc mỗi năm. Doanh nghiệp muốn tăng sức tiêu thụ bằng cách giảm giá bán. Mỗi lần giảm giá 1 triệu đồng, số lượng xe bán được tăng thêm 200 chiếc.
Câu hỏi: Doanh nghiệp nên định giá bán mới là bao nhiêu để lợi nhuận đạt cực đại sau khi giảm giá?
Đây là dạng bài tập ứng dụng hàm số với biến số giá bán, rất thường gặp trong đề thi Toán chọn học sinh giỏi. Các em cần xây dựng hàm lợi nhuận theo giá bán và tìm giá trị cực đại của hàm.
Bài toán 2:
Một chiếc cổng có phần trên dạng đường parabol được thiết kế sao cho có thể cho các xe container loại thùng hình hộp chữ nhật bề ngang 4 mét, chiều cao 5,2 mét đi qua. Hai đoạn thẳng CD và AD của cổng có độ dài lần lượt 6m và 4m.
Câu hỏi: Hỏi đỉnh I của parabol cách mặt đất tối thiểu bao nhiêu để đảm bảo xe container có thể vào được qua cổng?
Bài toán liên quan đến đồ họa hình học và tính toán điểm đỉnh parabol, đòi hỏi các em vận dụng kiến thức về hàm bậc hai và hình học không gian.
Bài toán 3:
Một hộ nông dân có 28100 a đất canh tác. Nếu trồng đậu thì cần 20 công lao động cho mỗi a và thu về 3,000,000 đồng trên mỗi a. Trồng cà phê cần 30 công lao động cho mỗi a và thu 4,000,000 đồng trên mỗi a. Tổng số công lao động không được vượt quá 180 công.
Câu hỏi: Xác định diện tích trồng đậu và cà phê để thu nhập là cao nhất với giới hạn công lao động đã cho?
Bài tập này là dạng bài toán tối ưu có ràng buộc, thường dùng hệ bất phương trình, hàm mục tiêu để tìm diện tích trồng phù hợp.
II. Một số câu hỏi trắc nghiệm trong đề thi
- Câu 1: Cho phương trình (5\sin x + \cos x = 0) với (0< x <180^circ). Tính giá trị biểu thức (P=\sin x - \cos x).
- Câu 2: Xét hàm số (y = x^2 - 2mx + 2m^2 + 3m) với tham số (m) thực và (x in [-1;1]). Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn được gọi là (y_1) và (y_2). Tính tích các giá trị (m) thỏa mãn phương trình (y_1 - y_2 = 24).
- Câu 3: Cho hình vuông ABCD cạnh 2, điểm M nằm trên đoạn AC sao cho (AM = \frac{1}{4} AC). Gọi N là trung điểm đoạn DC. Tính tích vô hướng (\vec{MB} \. \vec{MN}).
Những câu hỏi này khai thác các phần chính trong chương trình Toán 10, vừa giúp các em củng cố kiến thức hàm số, hình học vừa rèn luyện kỹ năng tính toán và biến đổi biểu thức.
Thầy cô và các em có thể dùng đề thi để thử sức, xem năng lực tổng hợp và áp dụng kiến thức Toán 10 theo hướng nâng cao. Cách trình bày đề rõ ràng, kèm đáp án chi tiết thích hợp làm tham khảo, đối chiếu khi sửa bài.
