Thầy/cô và các em học sinh lớp 10 thân mến, dưới đây là đề thi Olympic môn Toán dành cho học sinh lớp 10 của năm học 2023-2024, tổ chức liên cụm trường THPT tại thành phố Hà Nội. Đề thi rất hay và gồm đầy đủ đáp án cùng hướng dẫn chấm điểm, rất phù hợp để thầy cô và các em tham khảo ôn luyện.
Câu I (4,0 điểm)
Cho hàm số (y = x^2 - m x + m - 1), có đồ thị (P), với (m) là tham số thực.
- 1) Chứng minh rằng với mọi (m neq 1), đồ thị hàm số (P) luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt.
- 2) Gọi (A, B) là hai giao điểm phân biệt của đồ thị (P) với trục hoành, (C) là giao điểm của đồ thị với trục tung, (G) là trọng tâm tam giác (ABC). Hãy tìm tập hợp các điểm (G) khi tham số (m) thay đổi.
Các em chú ý phần chứng minh để hiểu được tính chất về nghiệm cũng như hình học của đồ thị. Tìm tập hợp trọng tâm tam giác là dạng bài không hiếm gặp, các bạn cùng luyện để không bị bỡ ngỡ khi gặp những đề tương tự.
Câu II (5,0 điểm)
- 1) Giải phương trình:
[2x^{2} - 11x + 23 = 4x - 1]
- 2) Một nông trại có kế hoạch trồng cà rốt và khoai tây trên khu đất rộng 5 ha. Để chăm sóc, nông trại sử dụng phân vi sinh. Trồng 1 ha cà rốt cần 3 tấn phân vi sinh và thu được lợi nhuận 50 triệu đồng; trồng 1 ha khoai tây cần 5 tấn phân vi sinh và thu được lợi nhuận 75 triệu đồng. Tổng phân vi sinh không vượt quá 18 tấn.
- Hỏi nông trại nên trồng mỗi loại cây trên diện tích bao nhiêu để tổng lợi nhuận là cao nhất?
Câu hỏi thực tế này giúp các thầy cô và các em học sinh luyện cách áp dụng toán học vào bài toán tối ưu hóa kinh tế đơn giản. Cần chú ý các điều kiện về diện tích và nguyên liệu (phân vi sinh), dùng hệ bất đẳng thức để xác định phạm vi nghiệm và phương pháp hàm mục tiêu.
Câu III (thêm bài tập thực hành về tổ hợp)
Từ tập (A) lập các số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau, mỗi chữ số chẵn xuất hiện đúng hai lần. Bài toán này rèn luyện khả năng đếm và hiểu rõ cách phân bổ chữ số theo yêu cầu đặc biệt.
Qua đề thi này, các bạn sẽ được ôn luyện kỹ lưỡng các dạng bài quan trọng gồm:
- Phân tích và chứng minh tính chất phương trình, đồ thị.
- Giải phương trình bậc hai dạng tổng quát.
- Bài toán thực tế ứng dụng hàm số và tối ưu lợi nhuận.
- Bài toán tổ hợp với các yêu cầu về phân bố chữ số.
Thầy/cô lưu ý các em xem kỹ từng câu, vận dụng kiến thức đã học để từng bước giải quyết. Đây cũng chính là dạng bài thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi, giúp các em phát triển tư duy logic và kỹ năng vận dụng kiến thức Toán 10 vào thực tế.
