Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp tỉnh năm học 2023 – 2024 tại tỉnh Hà Nam, đề thi gồm các bài toán điển hình giúp học sinh ôn luyện kiến thức ở mức độ cao, vừa yêu cầu tư duy vừa gắn với thực tế. Các thầy cô và các em học sinh hãy cùng thầy điểm qua các câu hỏi chính trong đề và cách tiếp cận từng bài cụ thể nhé.
Câu I (5,0 điểm)
Phần này tập trung vào kiến thức hàm số và ứng dụng thực tế.
- Bài 1. Cho hàm số $y = 2x^{2} - 3x - 2$ có đồ thị $(C)$ và một đường thẳng $d: y = mx - m$, với $m$ là tham số. Nhiệm vụ là tìm tất cả giá trị của $m$ sao cho đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1$, $x_2$ thoả mãn biểu thức: $$frac{x_1 m + 3}{x_1 + 4} + frac{x_2 m + 3}{x_2 + 4} = 2m - 3.$$
- Bài 2. Đây là bài ứng dụng hình parabol vào thực tế: Một cổng vòm hoa tại lễ cưới có hình dạng là đường parabol. Khoảng cách giữa hai chân cổng vòm hoa là 3,2 m. Tại một vị trí trên cổng có độ cao 2 m so với mặt đất, người ta thả một sợi dây chạm đất cách chân A của cổng vòm hoa một đoạn 1 m (tham khảo hình minh họa tương đương). Yêu cầu tính chiều cao tổng thể của cổng vòm hoa, làm tròn đến hàng phần trăm.
Câu II (4,0 điểm)
Phần này liên quan đến bài toán thực tế tích hợp hình học và tối ưu.
- Bài 1. Một đường dây điện được nối từ nhà máy điện trên đất liền tại điểm $A$ đến một hòn đảo ở điểm $D$. Khoảng cách ngắn nhất từ $D$ đến đất liền là đoạn thẳng $DC$ dài 2 km, và khoảng cách $AC$ trên đất liền là 5 km. Người ta chọn một vị trí $B$ nằm trên đoạn $AC$ làm điểm mắc dây điện từ $A$ đến $B$ trên đất liền, rồi từ $B$ kéo dây điện ngầm dưới biển đến $D$. Chi phí mắc dây điện trên đất liền là 3000 USD/km, còn dưới biển là 5000 USD/km. Hỏi vị trí điểm $B$ cách điểm $A$ bao nhiêu km để tổng chi phí là 23.000 USD?
- Bài 2. Một xưởng sản xuất bàn và ghế với thông tin sau:
- Một chiếc bàn: 1,5 giờ lắp ráp + 1 giờ hoàn thiện.
- Một chiếc ghế: 1 giờ lắp ráp + 2 giờ hoàn thiện.
- Bộ phận lắp ráp có 3 công nhân, bộ phận hoàn thiện có 4 công nhân.
- Mỗi công nhân làm việc không quá 8 giờ/ngày và năng suất công nhân trong mỗi bộ phận như nhau.
- Thị trường tiêu thụ hết sản phẩm và số lượng ghế không vượt quá 3,5 lần số bàn.
- Một chiếc bàn lãi 600 nghìn đồng, một chiếc ghế lãi 450 nghìn đồng.
Đề thi này rất hay, vừa kiểm tra kiến thức hàm số, vận dụng các biểu thức hàm số vào thực tế, vừa kết hợp toán hình và tối ưu chi phí – lợi nhuận thực tế trong cuộc sống. Các em nhớ kỹ từng bước giải và chú trọng nắm vững phần bài toán ứng dụng vì dạng này rất thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi.
