Ở đề kiểm tra giữa học kỳ 2 năm học 2023-2024 dành cho học sinh lớp 12 trường THPT Chuyên Biên Hòa, các em sẽ gặp một số dạng toán đặc trưng giúp củng cố kiến thức về hàm số, tích phân và hình học không gian. Thầy/cô nghĩ rằng làm quen với các dạng bài này rất hữu ích khi các em chuẩn bị cho kỳ thi cuối kỳ cũng như luyện tập kỹ năng giải toán.
Câu 1: Tính tích phân có chứa hàm điều kiện
Cho hàm số xác định theo công thức hàm số từng đoạn:
- f(x) = x^3 - 4x + 2 khi x ≥ 4;
- f(x) = 1 - x^2 khi x < 4.
Các bạn cần tính tích phân xác định từ 0 đến 2 của biểu thức 2sin^3 x + 3 sin^2 x - 2 df(x)/dx . Đây là bài tập yêu cầu kết hợp kiến thức đạo hàm và tích phân. Các em chú ý tính đạo hàm đúng từng trường hợp của hàm số để khi thay vào tích phân sẽ đúng kết quả.
Câu 2: Tính giá trị một biểu thức liên quan đến nguyên hàm
Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1/(x^2 + 1). Nhiệm vụ là tìm giá trị của biểu thức F'(2) - 2F'(0). Bài tập này giúp rèn luyện kỹ năng nhận biết nguyên hàm, đạo hàm cũng như vận dụng tính chất hàm số hợp lý để tìm giá trị cần thiết.
Câu 3: Bài toán hình học ứng dụng trong không gian
Chúng ta cùng xem một ví dụ thực tế từ môn hình học không gian. Trong một sân thi đấu thể thao mạo hiểm X-Game có chướng ngại vật dạng tường cong làm bằng khối bê tông hình tam giác. Chiều cao tường từ mặt đất lên 3 m; giao tuyến của tường và mặt đất là đoạn thẳng AB dài 2 m. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với AB tại điểm A tạo thành hình tam giác vuông cong ACE với AC = 4 m, CE = 3 m, và cạnh cong AE nằm trên đường parabol có trục đối xứng vuông góc với mặt đất. Đặc biệt, tại điểm M là trung điểm của AC, tường cong này có độ cao là 1 m.
Bài toán này nhằm củng cố kiến thức về tọa độ không gian, phối hợp với kiến thức parabol và hình học không gian. Thầy/cô thấy nhiều bạn hay nhầm lẫn ở cách xác định trục đối xứng và chiều cao của các điểm trên đường parabol nên các em lưu ý bước này kỹ càng.
Câu 4: Tính toán trong không gian hệ tọa độ
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,4,1) và điểm B. Mặt phẳng P được cho bởi phương trình 3x - 2y + 5z = 0. Mặt phẳng Q đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng P có phương trình dạng ax + by + cz + 11 = 0. Các em sẽ vận dụng kiến thức quan hệ vuông góc giữa hai mặt phẳng trong không gian để kiểm tra tính đúng sai của các khẳng định liên quan.
Câu 5: Bài toán tích phân và diện tích hình phẳng
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [2, 6] như hình vẽ trong đề (thầy/cô sẽ mô tả lại khi chia sẻ trực tiếp). Biết rằng các miền A, B, C dưới đồ thị có diện tích lần lượt là 3, 2 và 3 đơn vị diện tích. Yêu cầu tính tích phân x dx trên đoạn từ 2 đến 6 của hàm số trên.
Bài toán này giúp các em luyện tập kỹ năng chuyển đổi giữa tích phân và diện tích hình phẳng, cũng như vận dụng các kiến thức liên quan.
Hi vọng qua đề kiểm tra này, các em đã có thêm nhiều trải nghiệm thực tế và những ví dụ cụ thể để nhớ kiến thức Toán học sâu hơn, từ hàm số đến hình học không gian và tích phân. Hãy luyện tập chăm chỉ, nắm chắc công thức và phương pháp giải để đạt kết quả tốt nhất trong học kỳ nhé!
