Dưới đây là đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11 chuyên cấp tỉnh đợt 2 năm học 2023-2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Nam. Bài thi diễn ra trong 180 phút vào ngày 15 tháng 3 năm 2024, bao gồm 4 câu hỏi với nội dung phong phú và đa dạng. Thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo để luyện tập và củng cố kiến thức nhé.
Câu 1 (3 điểm)
Cho dãy số thực ((u_n)) xác định bởi , (u_1 = 1, u_2 = 3), và công thức truy hồi (u_{n+2} = frac{u_{n+1} + 3u_n}{3}) với mọi (n in mathbb{N}). Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh dãy ((u_n)) có giới hạn hữu hạn, đồng thời tìm giá trị của giới hạn đó.
Đây là dạng bài về dãy số khó, các em chú ý phân tích kỹ công thức truy hồi, vận dụng các định lý về dãy số tuần hoàn hay dãy số hội tụ. Việc tính giới hạn sẽ giúp các em làm quen với các dạng bài có dãy số phức tạp hơn.
Câu 2 (3 điểm)
Tìm tất cả các hàm số đa thức (f : mathbb{R} to mathbb{R}) thỏa mãn phương trình
[f(x^2 + y^2) = f(x + y) , f(x - y) + 4f(xy) quad forall x,y in mathbb{R}.]
Bài toán vận dụng kiến thức hàm số đa thức kết hợp với phương trình hàm số. Câu này giúp luyện kỹ năng phân tích biểu thức, đối xứng và phương pháp thay thế biến để tìm dạng hàm phù hợp.
Câu 3 (3 điểm)
- Phần a) Tìm tất cả các giá trị nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình:
[x^2 y^2 - 2 x y = 3 x^3 + 3 y^3.]
- Phần b) Tìm tất cả các số nguyên dương (m, n) và số nguyên tố (p) sao cho:
[(m + n)^3 = m^3 + n^3 + p^3.]
Câu này thuộc dạng bài phương trình diophantine và bài toán về số nguyên tố, rất hay và có tính thực tế cao trong luyện thi học sinh giỏi.
Câu 4 (5 điểm)
Cho tam giác nhọn (ABC) với (AB < AC). Gọi (M) là trung điểm của (BC) và (AM) là đường trung tuyến. Điểm (D) nằm trên đoạn (AM) khác (A). Trên đoạn (MC) lấy điểm (E) khác (M) và (C). Gọi (H) và (K) lần lượt là hình chiếu vuông góc của (D) lên (AB) và (AC).
Gọi ((C_1)) và ((C_2)) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp tam giác (BHE) và tam giác (CKE). Hai đường tròn ((C_1)) và ((C_2)) cắt nhau tại điểm thứ hai là (L) (khác (E)).
Gọi đường thẳng (d) xuất phát từ (B), vuông góc với (BC), cắt lại đường ((C_1)) tại điểm thứ hai là (I). Giao điểm thứ hai của đoạn thẳng (IL) và đường ((C_2)) là (N).
Yêu cầu:
- a) Chứng minh (BI parallel NC).
- b) Gọi (P) là giao điểm của (IL) và (BC). Chứng minh tứ giác (ALMP) nội tiếp đường tròn.
Bài hình học này đòi hỏi vận dụng các tính chất hình học về hình chiếu, tính chất đường tròn ngoại tiếp và các định lý về đường trung tuyến, đường thẳng song song để giải quyết.
Câu 5 (3 điểm)
Cho đoạn thẳng (AB) được chia thành bốn phần bằng nhau bởi ba điểm (M, N, P) theo thứ tự trên đoạn thẳng từ (A) đến (B). Trên đoạn (AB), có tổng cộng 2024 điểm phân biệt được đánh dấu như sau: trong mỗi đoạn nhỏ (AM, MN, NP, PB) có 506 điểm được chia đều.
Các điểm này thỏa mãn điều kiện: với mỗi điểm thuộc đoạn (AM) sẽ tồn tại một điểm thuộc đoạn (MN) đối xứng với nó qua điểm (M). Tương tự, với mỗi điểm trên đoạn (PB), tồn tại điểm tương ứng trên đoạn (NP) đối xứng qua điểm (P).
Tiếp theo, 1012 điểm trong số này được tô màu đỏ tùy ý, phần còn lại tô màu đen.
Yêu cầu: Chứng minh tổng các khoảng cách từ (A) đến các điểm màu đỏ bằng tổng các khoảng cách từ (B) đến các điểm màu đen.
Câu này liên quan đến tính đối xứng trong mặt phẳng và tổng khoảng cách, rất đáng để luyện để phát triển tư duy toán học và khả năng vận dụng kiến thức về đoạn thẳng.
