Trong đợt kiểm tra giữa học kỳ 2 năm học 2023-2024, trường THPT Thống Nhất A đã tổ chức một đề thi môn Toán lớp 12 với các câu hỏi khá đa dạng và đặc biệt hữu ích để các em học sinh ôn luyện. Các câu hỏi trong đề khơi gợi khả năng tư duy, vận dụng kiến thức vào các bài toán thực tế cũng như củng cố các phần trọng tâm của chương trình năm học.
Câu 1: Bán kính mặt cầu
Cho mặt cầu trong không gian Oxyz được định nghĩa bởi phương trình:
(x + 5)² + (y - 1)² + (z + 2)² = 81
Các em hãy xác định bán kính của mặt cầu này. Có bốn lựa chọn gồm: 81, ±9, 9 hoặc 3. Hãy nhớ rằng bán kính mặt cầu là căn bậc hai của số ở vế phải phương trình, tức là r = √81 = 9.
Câu 2: Tọa độ tâm mặt cầu
Tiếp tục trong không gian Oxyz, cho mặt cầu được xác định với phương trình:
(x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 16
Yêu cầu là tìm tọa độ tâm của mặt cầu. Các lựa chọn đưa ra như sau:
- (1; 2; 3) trái dấu các biến
- (-1; -2; -3)
- (1; 2; 3)
- (-1; 2; -3)
Bài này đòi hỏi ta phải nhận biết sự thay đổi dấu trước các hằng số khi đưa phương trình về dạng chuẩn của mặt cầu. Tâm mặt cầu sẽ là điểm A(-1; -2; -3).
Câu 3: Tính chất về tích phân hàm số liên tục
Cho hai hàm số f(x) và g(x) xác định và liên tục trên tập R, với số thực k cho trước. Các mệnh đề sau đây được đưa ra, các em hãy xác định mệnh đề nào đúng:
- A. ( int f(x)g(x) dx = int f(x) dx times int g(x) dx )
- B. ( int (f(x) + g(x)) dx = int f(x) dx + int g(x) dx )
- C. ( { k | int f(x) dx = k int f(x) dx, k neq 0 } )
- D. Một mệnh đề chưa được nêu chi tiết trong đề
Trong đó, mệnh đề B là đúng, bởi tích phân của tổng bằng tổng các tích phân của từng hàm.
Một số ví dụ bài tập nâng cao
Dưới đây là các bài tập điển hình nằm trong đề kiểm tra, rất có giá trị để các em làm quen và hoàn thiện kỹ năng:
- Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -2; 1) cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C (không trùng O). Tìm mặt phẳng (P) sao cho tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất. Mặt phẳng (P) đi qua điểm nào dưới đây?
- Cho hàm số y = x. Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số và hai trục tọa độ Ox, Oy.
- Xác định mệnh đề đúng liên quan đến tích phân của hai hàm số f(x) và g(x) đã cho.
Những dạng bài này rất hay gặp trong đề kiểm tra và đề thi THPT quốc gia. Các em cần chú ý vận dụng đúng công thức, nhận dạng nhanh các phần hỏi và xử lí chính xác từng bước.
Hy vọng qua đề kiểm tra này, các em có thể củng cố lại kiến thức cũng như rèn luyện kỹ năng giải toán trắc nghiệm hiệu quả, đặc biệt là các câu hỏi liên quan đến mặt cầu, mặt phẳng trong không gian, cũng như các phần về hàm số và tích phân.
