Hôm nay thầy muốn giới thiệu đến các em đề thi Olympic môn Toán dành cho học sinh lớp 11, cụm trường Hoàn Kiếm và Hai Bà Trưng, Hà Nội, năm học 2023-2024. Đây là đề thi có nội dung khá phong phú, giúp các em luyện tập và củng cố kiến thức toàn diện.
Bài I (4,0 điểm): Giải phương trình
Phần này gồm hai phương trình khá điển hình, các em để ý các dạng hàm sin và cos kết hợp:
- Phương trình 1: 0; (sin x + cos x)(2 sin x - 1) = 2 sin^2 x0;
- Phương trình 2: 0; rac{1 + sin x}{1 - 2 sin x} = rac{ an x}{ an x - cos x}0;
Thầy thấy nhiều bạn hay nhầm ở các bước biến đổi và điều kiện nghiệm, nên các em chú ý kỹ.
Bài II (2,0 điểm): Tính giới hạn
Đây là bài tập về giới hạn số học và giới hạn hàm số, các em chú ý kỹ từng bước:
- 1) 0; lim_{n 1 1} frac{n^2 + 2n + 1}{n^2 + n + 3} sqrt{n + 1} - n + 3 0;
- 2) 0; lim_{x 70^+} frac{1 + {x + 1} - x}{{x} + 1 - x} 0;
Bài III (3,0 điểm): Bất phương trình logarit
Đây là dạng toán rất hay gặp trong các đề thi Olympic, các em chú ý phân tích kỹ điều kiện để giải:
Cho bất phương trình:
(2x + 1) 0;log_2 (x^2 + m x + m + 1) < 00;
1) Giải bất phương trình khi m = 2.
2) Tìm m sao cho bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 0; 0; 0; thuộc khoảng (2; 3).
Bài IV (1,0 điểm): Xác suất
Ở phần này, chúng ta thử sức với bài toán tổ hợp xác suất, khá thực tế và thú vị:
Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó chữ số 0 xuất hiện đúng 3 lần. Khi chọn ngẫu nhiên một số trong S, tính xác suất số đó chia hết cho 5.
Bài V (6,0 điểm): Hình học không gian
Bài toán về hình chóp S.ABC với các kích thước cụ thể:
- Cạnh SA = 6a, SB = 2a, các cạnh còn lại bằng a.
- Gọi I là trung điểm của AC.
Các câu hỏi:
- 1) Chứng minh SI vuông góc với đường thẳng BC.
- 2) Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng AB và SC.
- 3) Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và SAC. Một mặt phẳng chứa G và G' cắt SA và SC tương ứng tại M và N. Khi đoạn MN nhỏ nhất, hãy tính diện tích tam giác GMN.
Đề thi này đòi hỏi các em vận dụng kiến thức về lượng giác, logarit, tổ hợp xác suất và hình học không gian một cách linh hoạt. Nắm chắc các kiến thức này sẽ rất có lợi khi các em tham gia các kỳ thi cấp quận, thành phố hay các cuộc thi Olympic cấp trường.
