Trong đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 10 năm học 2023-2024 tại trường THPT Quảng Xương 4, có nhiều bài tập hay và đòi hỏi kiến thức vận dụng cao. Dưới đây là một số câu hỏi tiêu biểu để các em và thầy cô tham khảo và luyện tập.
Câu 1. Vecto và góc giữa hai vecto
Cho hai vecto ( vec{a} ) và ( vec{b} ) đều khác ( vec{0} ). Các khẳng định về tích vô hướng và góc giữa hai vecto có thể khiến nhiều bạn nhầm lẫn, nên các em hãy để ý nhé.
- A: ( (vec{a} . vec{b}) = |vec{a}||vec{b}| cos theta )
- B: ( (vec{a} . vec{b}) = |vec{a}||vec{b}| sin theta )
- C: ( vec{a} . vec{b} = vec{b} . vec{a} )
- D: ( (vec{a} . vec{b}) = |vec{a}||vec{b}| cos theta )
Trong đó, ( theta ) là góc giữa hai vecto.
Nhận xét: Công thức đúng là tích vô hướng bằng độ dài vecto này nhân độ dài vecto kia nhân với cosin của góc giữa hai vecto. Như vậy, đáp án A và D về mặt công thức là giống nhau và đúng. Còn B sử dụng sin thì sai. Ngoài ra tích vô hướng có tính giao hoán, nghĩa là ( vec{a} . vec{b} = vec{b} . vec{a} ), nên C cũng đúng.
Câu 2. Tập xác định hàm số
Xét hàm số ( f(x)=dfrac{1}{(x+1)^3 - 1} ).
- Các em cần tìm tập xác định ( D ) – tức là tập các giá trị ( x ) làm mẫu số khác 0.
- Mâu số: ( (x+1)^3 -1 = 0 Rightarrow (x+1)^3 =1 Rightarrow x+1=1 Rightarrow x=0 ).
- Vậy tập xác định là tất cả các thực số trừ ( x=0 ).
Đáp án chính xác: tập xác định ( D = mathbb{R} setminus {0} ).
Câu 3. Tính chất hàm số bậc hai
Xét hàm số ( y = a x^2 + b ) với ( a, b in mathbb{R} ).
- Một điều thầy cô thấy nhiều bạn hay nhầm là đặc tính đồng biến hay nghịch biến của hàm số bậc hai với hệ số ( a ).
- Hàm số có ( a > 0 ) thì đồng biến trên khoảng ( (0; +infty) ) và nghịch biến trên khoảng ( (-infty; 0) ).
- Ngược lại, với ( a < 0 ), hàm nghịch biến trên ( (0; +infty) ) và đồng biến trên ( (-infty; 0) ).
Lưu ý: không đúng khi nói hàm số đồng biến hay nghịch biến trên toàn ( mathbb{R} ).
Bài tập vận dụng từ đề
Dưới đây là một số bài toán vận dụng trong đề thi để các em luyện tập:
- Trong mặt phẳng tọa độ ( Oxy ) cho tam giác ( triangle ABC ) với ( A(4,0) ) và ( B(1,0) ). Gọi ( M ) là điểm trên tia ( Oy ). Khi giá trị ( MA + MB ) đạt nhỏ nhất thì tung độ của ( M ) chia hết cho số nào trong các số đã cho?
- Cho hình vuông ( ABCD ) có tâm ( I(3,-1) ). Điểm ( M ) thuộc cạnh ( CD ) sao cho ( MC = MD = 2 ). Tìm tọa độ đỉnh ( A ) biết đường thẳng ( AM ) có phương trình ( 2x + 4y = 0 ) và điểm ( A ) có tung độ âm.
- Lớp 10A có 30 học sinh gồm 15 nam và 15 nữ. Trong một hàng dọc, nếu các bạn nam và nữ phải xếp xen kẽ nhau thì có bao nhiêu cách xếp?
Những bài tập này giúp các em rèn luyện tư duy toán học cũng như vận dụng kiến thức hình học, xác suất tổ hợp và giải tích cơ bản.
Chúc các em luyện tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.
