Trong đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm học 2023 – 2024 tại tỉnh Quảng Ngãi, có một bài toán rất thú vị liên quan đến mô hình huyết áp của con người. Các em cùng thầy/cô phân tích và làm quen với dạng bài này nhé.
Phần 1: Bài toán về huyết áp và hàm số mô hình
Trước hết, các em cần hiểu khái niệm huyết áp: đây là áp lực tác động lên thành động mạch giúp đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng các mô trong cơ thể. Huyết áp được hình thành bởi lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập, huyết áp sẽ tăng lên rồi giảm xuống xen kẽ liên tục.
Trong y học, huyết áp tối đa gọi là huyết áp tâm thu, còn huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm trương. Chỉ số huyết áp thường được biểu diễn dưới dạng “tâm thu/tâm trương”, ví dụ 120/80 mmHg là mức bình thường.
Giả sử một người có nhịp tim 70 lần/phút và huyết áp của người đó được mô hình hóa bằng hàm số:
P(t) = 100 + 20sinleft(3pi t right), trong đó P(t) là huyết áp tính bằng mmHg, t là thời gian tính bằng giây.
Các em cần xác định trong khoảng thời gian từ 0 đến 2 giây, huyết áp bằng 90 mmHg bao nhiêu lần.
Chi tiết phân tích bài toán
- Đầu tiên, nhận thấy hàm số có dạng dao động cộng với hằng số: 100 + 20 sin(3πt).
- Để huyết áp bằng 90 mmHg, tức là giải phương trình: 100 + 20sin(3pi t) = 90
- Ta suy ra: 20sin(3pi t) = -10 hay sin(3pi t) = -frac{1}{2}
- Ta cần tìm các nghiệm của phương trình sin x = –1/2 trong khoảng t từ 0 đến 2, với x = 3πt.
Chúng ta biết sin x = –1/2 xảy ra tại:
x = frac{7pi}{6} + 2kpi hoặc x = frac{11pi}{6} + 2kpi với k nguyên.
Áp dụng, ta có đường đi của t:
- 3pi t = frac{7pi}{6} + 2kpi Rightarrow t = frac{7}{18} + frac{2k}{3}
- 3pi t = frac{11pi}{6} + 2kpi Rightarrow t = frac{11}{18} + frac{2k}{3}
Bây giờ ta tìm tất cả các giá trị t trong khoảng [0,2]:
- với k=0:
- t = frac{7}{18} approx 0.3889
- t = frac{11}{18} approx 0.6111
- k=1:
- t = frac{7}{18} + frac{2}{3} = frac{7}{18} + frac{12}{18} = frac{19}{18} approx 1.0556
- t = frac{11}{18} + frac{2}{3} = frac{11}{18} + frac{12}{18} = frac{23}{18} approx 1.2778
- k=2:
- t = frac{7}{18} + frac{4}{3} = frac{7}{18} + frac{24}{18} = frac{31}{18} approx 1.7222
- t = frac{11}{18} + frac{4}{3} = frac{11}{18} + frac{24}{18} = frac{35}{18} approx 1.9444
- k=3:
- t = frac{7}{18} + 2 = frac{7}{18} + frac{36}{18} = frac{43}{18} approx 2.3889 > 2 (không hợp lệ)
Vậy t có 6 giá trị thỏa mãn trong khoảng từ 0 đến 2 giây, tức huyết áp đạt 90 mmHg đúng 6 lần.
Lưu ý với các em: Bài toán này giúp chúng ta áp dụng kiến thức về hàm số lượng giác để mô hình hóa hiện tượng thực tế rất gần gũi. Đồng thời, xử lý và giải phương trình lượng giác trong khoảng xác định là kỹ năng rất cần thiết khi gặp các bài toán dạng dao động, chu kỳ.
Đây cũng là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi, các em nên làm quen và luyện tập để nâng cao kỹ năng phân tích và giải toán thực tiễn.
