Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh Long An năm học 2024-2025 có 5 câu hỏi trong 180 phút, không sử dụng máy tính cầm tay, phù hợp để học sinh nâng cao khả năng giải quyết các bài toán phức tạp.
Câu 1: Giải phương trình và hệ phương trình
Phần này tập trung vào giải phương trình, hệ phương trình với dạng căn thức và biểu thức đa thức. Ví dụ, câu 1a giải phương trình (x^2 - 2x -3 = sqrt{x+3}) với điều kiện (xgeq -3). Câu 1b giải hệ phương trình phức tạp với ẩn trong và ngoài mẫu.
Câu 2: Hình học tọa độ
Bài toán hình học cho hình thang cân với các tính chất về cạnh, đường chéo vuông góc, tìm tọa độ điểm theo điều kiện cho trước, và tính toán giá trị cos góc trong tam giác khi có các điều kiện về đường phân giác, trung tuyến và vuông góc. Ví dụ như chứng minh hai đường thẳng vuông góc hoặc tìm tọa độ các điểm dựa vào các điều kiện hình học.
Câu 3: Dãy số
Bài tập về dãy số với yêu cầu chứng minh biểu thức tổng quát của số hạng trong dãy, tính tổng dãy số lớn, và bất đẳng thức liên quan đến các số hạng. Các bài tập sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh tính chất dãy số, ví dụ chứng minh biểu thức (a_n = (-1)^n + n) và tổng 2025 số hạng đầu.
Câu 4: Bài toán tổ hợp có điều kiện
Đề bài cho bài toán thực tế về số cách trồng hoa của 6 lớp trong một bồn hoa hình tròn được chia thành 6 phần, với điều kiện các lớp cạnh nhau không trồng cùng loại hoa. Bài toán được giải bằng phương pháp đặt hiệu và đếm số cách chọn màu sao cho các phần cạnh nhau không trùng nhau.
Câu 5: Bài toán tối ưu
Bài toán về cắt dây kim loại uốn thành hình vuông và hình tròn, tìm tổng diện tích nhỏ nhất của hai hình. Phương pháp giải dựa trên việc biểu diễn tổng diện tích dưới dạng hàm bậc hai, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm này, từ đó tìm ra phân chia tối ưu độ dài dây.
Tài liệu này phù hợp để học sinh lớp 12 ôn tập chuẩn bị thi học sinh giỏi, giúp nắm vững kiến thức đại số, hình học, số học nâng cao, kỹ năng giải nhanh và sáng tạo.
