Các em học sinh lớp 12 thân mến, để chuẩn bị thật tốt cho kỳ kiểm tra cuối học kỳ 2 môn Toán, thầy cô đã soạn một đề cương ôn tập đầy đủ giúp các em củng cố kiến thức trọng tâm. Đây là tài liệu rất hữu ích để ôn luyện và hệ thống lại những phần kiến thức quan trọng nhất.
Phần 1: Ôn tập theo chủ đề
Trong phần này, chúng ta tập trung vào ba chủ đề chính thường gặp trong chương trình Toán 12 học kỳ 2:
- Chủ đề 1: Tích phân và ứng dụng
- Chủ đề 2: Số phức
- Chủ đề 3: Phương pháp tọa độ trong không gian
Chủ đề 1: Tích phân và ứng dụng
A. Kiến thức cần nhớ
I. Tích phân
1. Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên đoạn này, hiệu số F(b)-F(a) gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a;b]) của hàm số f, kí hiệu:
[ displaystyle int_a^b f(x) , dx = F(b) - F(a) ]
Để đơn giản, ta dùng ký hiệu I=F(b)-F(a).
2. Tính chất của tích phân:
- Tính chất cộng: (int_a^b [f(x) + g(x)] dx = int_a^b f(x) dx + int_a^b g(x) dx).
- Tính chất đơn vị: (int_a^a f(x) dx = 0).
- Đổi chiều: (int_a^b f(x) dx = -int_b^a f(x) dx).
- Tính chất tuyến tính: Cho mọi số thực α, β, ta có (int_a^b [alpha f(x) + beta g(x)] dx = alpha int_a^b f(x) dx + beta int_a^b g(x) dx).
- Tích phân của hàm số ≥ 0 nếu hàm số >= 0 trên đoạn và ngược lại.
II. Phương pháp tính tích phân
1. Phương pháp đổi biến số: Đây là phương pháp rất hữu ích khi tính tích phân.
Giả sử hàm số (f(x)) liên tục trên đoạn ([a;b]), và ta chọn hàm số mới (u = u(x)) sao cho trên đoạn ([a;b]), (u(x)) có đạo hàm liên tục, và giá trị của (u(x)) thuộc đoạn ([alpha; beta]).
Nếu ta có thể biểu diễn lại hàm số dưới dạng (f(x) = g(u(x))), với (g(u)) liên tục trên đoạn ([alpha; beta]), thì tích phân được tính như sau:
[ int_a^b f(x) dx = int_{u(a)}^{u(b)} g(u) du ]
Ví dụ, nếu (u = u(x)), với (du = u'(x) dx), thì ta có thể đổi biến để tính tích phân một cách dễ dàng hơn.
2. Phương pháp đặt hàm số đối xứng và khác: Đối với một số bài toán, ta có thể sử dụng hàm số phụ (x = varphi(t)) có đạo hàm liên tục để đổi biến tích phân. Phương pháp này cũng khá hiệu quả trong việc đơn giản hóa tích phân.
Phần 2: Đề thi tham khảo ôn tập học kỳ 2 Toán 12
Để giúp các em rèn luyện làm quen với cấu trúc đề, độ khó cũng như các dạng bài tập xuất hiện trong đề thi học kỳ 2, chúng ta cùng xem lại các đề thi của những năm học trước từ trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa. Việc ôn luyện với đề thi cũ rất giúp ích trong việc phát triển kỹ năng làm bài và hệ thống kiến thức.
Chúng ta sẽ luyện tập với các đề thi:
- Đề thi học kỳ 2 năm học 2017 – 2018
- Đề thi học kỳ 2 năm học 2018 – 2019
- Đề thi học kỳ 2 năm học 2019 – 2020
Qua các đề thi này, các em sẽ nắm vững cách ra đề và nhận biết những phần kiến thức trọng tâm cần chú ý. Thầy cô cũng lưu ý, trong quá trình ôn tập, các em nên dành thời gian luyện tập với bài tập thuộc từng chủ đề trong phần 1 để bổ trợ cho việc làm đề thi hiệu quả hơn.
