Thầy cô thấy nhiều bạn học sinh lớp 12 rất cần những công thức và cách làm nhanh để xử lý phần khảo sát hàm số, nhất là hàm bậc ba – một dạng thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia. Hôm nay chúng ta cùng ôn tập thật kỹ các kiến thức và kỹ thuật giải nhanh phần này nhé.
1. Hàm số bậc ba
Hàm số bậc ba có dạng tổng quát như sau:
y = ax^3 + bx^2 + cx + d, với a ≠ 0.
Đạo hàm của hàm số là:
y' = 3ax^2 + 2bx + c.
Tập xác định (TXĐ) của hàm số là tất cả các số thực ℝ.
2. Tìm khoảng đồng biến và nghịch biến
Có một số cách phổ biến để xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số này:
- Cách 1: Tính đạo hàm y', giải phương trình y' = 0 để tìm nghiệm. Sau đó lập bảng biến thiên hoặc xét dấu của y' theo các khoảng đó để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Lưu ý: Nếu phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép duy nhất thì:
- Trường hợp a > 0: hàm số đồng biến trên toàn bộ ℝ.
- Trường hợp a < 0: hàm số nghịch biến trên toàn bộ ℝ.
- Cách 2: Sử dụng máy tính bỏ túi có chức năng đồ thị (bấm Mode 7) thử nghiệm các giá trị gần nhau để xác định dấu của đạo hàm qua đó suy ra khoảng đồng biến và nghịch biến.
- Cách 3: Dùng phép tính tích phân trên máy tính (Shift ∫) kiểm tra dấu của đạo hàm tại nhiều điểm; nếu đạo hàm dương thì hàm số đồng biến, nếu âm thì hàm số nghịch biến tại điểm đó.
3. Tìm điểm cực trị của hàm số
Điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu) của hàm số là các điểm x sao cho:
- y'(x) = 0
- Và hàm số đổi chiều tại điểm đó (được xác định qua bảng xét dấu của y').
Cụ thể, các bước thực hiện như sau:
- Tính đạo hàm y', giải phương trình y' = 0 để tìm các nghiệm x.
- Lập bảng biến thiên, xét dấu y' trên các khoảng đó để xác định loại điểm cực trị (cực đại hay cực tiểu).
Lưu ý: Nếu phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc chỉ có một nghiệm kép thì hàm số không có điểm cực trị.
