Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao gồm 152 trang do Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam phát hành, là tài liệu chính thống dành cho học sinh khối 12 chuyên. Sách được sử dụng rộng rãi tại các trường THPT và cơ sở giáo dục trên toàn quốc, cung cấp kiến thức Hình học căn bản và nâng cao mà học sinh lớp 12 cần nắm chắc. Đây còn là cuốn sách tra cứu hiệu quả cho các bạn trong việc củng cố kiến thức chuẩn và nâng cao.
Sách được biên soạn bởi các tác giả uy tín: Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Lê Huy Hùng, Tạ Mân. Qua nhiều năm, bộ sách đã phục vụ cho công tác giảng dạy và ôn luyện hiệu quả của thầy cô và học sinh.
1. Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là một hình trong không gian được tạo bởi một số đa giác phẳng mà thỏa hai điều kiện sau:
- Tập hợp các đa giác không có giao điểm hoặc có điểm chung là đỉnh hoặc cạnh.
- Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Điểm thuộc trong khối đa diện gọi là điểm trong của khối, tập hợp các đa giác gọi là các mặt của khối đa diện và tập hợp các cạnh gọi là các cạnh của khối đa diện.
Khối đa diện có thể là khối chóp, khối lăng trụ, khối tứ diện,... Ví dụ, hình chữ nhật H có sáu mặt là các hình chữ nhật, không phải là khối đa diện lõi do không thỏa điều kiện về đa giác phẳng phẳng.
2. Phân chia và lắp ghép các khối đa diện
Ta có thể phân chia một khối đa diện thành một số khối tứ diện hoặc khối chóp nhỏ hơn. Ví dụ, khối chóp tứ giác S.ABCD có thể phân chia thành hai khối chóp tam giác S.ABC và S.ACD mà không có điểm chung bên trong và ghép lại tạo thành khối chóp S.ABCD.
Khi cắt hoặc ghép các khối đa diện, ta cần chú ý rằng khối chóp và khối lăng trụ luôn có thể phân chia thành các khối tứ diện khác nhau.
3. Phép dời hình trong không gian
Phép dời hình giữ nguyên khoảng cách giữa các điểm bất kì. Các phép dời hình cơ bản bao gồm:
- Phép đối xứng qua mặt phẳng: biến đổi mỗi điểm thành điểm đối xứng qua mặt phẳng đó.
- Phép tịnh tiến theo vectơ: biến đổi một điểm thành điểm dịch chuyển theo vectơ cho trước.
- Phép đối xứng trục và phép đối xứng tâm: các phép biến hình tương ứng với đối xứng qua một trục hoặc một điểm.
4. Các loại khối đa diện đặc biệt
Có năm loại khối đa diện đều được gọi là khối đa diện đều, bao gồm:
- Khối tứ diện đều: 4 đỉnh, 6 cạnh, 4 mặt đều là tam giác đều.
- Khối lập phương: 8 đỉnh, 12 cạnh, 6 mặt là hình vuông.
- Khối tám mặt đều: gồm 6 đỉnh và 8 mặt tam giác đều.
- Khối mười hai mặt đều: 20 đỉnh, 30 cạnh, 12 mặt hình năm cạnh đều.
- Khối hai mươi mặt đều: 12 đỉnh, 30 cạnh, 20 mặt tam giác đều.
Mỗi loại đều có những tính chất, công thức về số đỉnh, cạnh, mặt được xác định theo định lý Euler.
5. Thể tích các khối hình
Thể tích của các khối hình đặc rất quan trọng trong toán học và thực tế. Một số công thức đáng chú ý:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c là chiều dài các cạnh.
- Thể tích khối chóp: V = ( frac{1}{3} times text{diện tích đáy} times text{chiều cao} ).
- Thể tích khối lăng trụ: V = ( text{diện tích đáy} times text{chiều cao} ).
- Thể tích khối trụ: V = ( pi r^2 h ), với r là bán kính đáy, h chiều cao.
- Thể tích khối cầu: V = ( frac{4}{3} pi R^3 ), R là bán kính.
6. Mặt cầu và các tính chất
Mặt cầu S(O; R) là tập hợp các điểm cách đều tâm O một khoảng R được gọi là bán kính. Có 3 vị trí giao nhau của mặt cầu với mặt phẳng:
- Cắt nhau thành đường tròn nếu khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng nhỏ hơn bán kính.
- Tiếp xúc tại một điểm nếu khoảng cách bằng bán kính.
- Không cắt nếu khoảng cách lớn hơn bán kính.
Tiếp tuyến mặt cầu tại điểm tiếp xúc vuông góc với bán kính nối tâm đến điểm đó.
7. Mặt tròn xoay và khối tròn xoay
Mặt tròn xoay được tạo thành khi một đoạn thẳng hoặc hình phẳng quay quanh trục cố định. Khối tròn xoay là phần không gian giới hạn bởi hai mặt tròn xoay song song nhau.
Diện tích xung quanh của mặt tròn xoay bằng tích chu vi đáy và chiều cao, thể tích khối tròn xoay bằng tích diện tích đáy và chiều cao.
8. Các khái niệm về mặt năn và khối năn
Mặt năn hay mặt tròn xoay tạo bởi một đoạn thẳng quay quanh một trục không vuông góc với đoạn thẳng đó. Khối năn là phần không gian giới hạn bởi các mặt năn và các mặt phẳng cắt.
Diện tích xung quanh và thể tích khối năn được tính tương tự như phần diện tích và thể tích hình nón cụt với các công thức cụ thể dựa vào chiều cao và bán kính đáy.
9. Phương pháp tọa độ trong không gian
Tọa độ giúp xác định chính xác vị trí điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian ba chiều Oxyz. Một vectơ được biểu diễn bởi ba thành phần (x, y, z) tương ứng với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ được sử dụng để kiểm tra vuông góc, song song và tính diện tích khi giải toán liên quan đến hình học không gian.
10. Phương trình mặt phẳng
Phương trình mặt phẳng được viết dưới dạng Ax + By + Cz + D = 0, với vectơ pháp tuyến (vec{n} = (A, B, C)). Từ điểm và vectơ pháp tuyến có thể viết phương trình mặt phẳng.
11. Phương trình đường thẳng
Đường thẳng trong không gian được biểu diễn bằng phương trình tham số với một điểm và vectơ chỉ phương. Ngoài ra còn có phương trình chính tắc khi biết vectơ chỉ phương tương ứng.
12. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng và hai đường thẳng
Hai mặt phẳng có thể cắt nhau, song song hoặc trùng nhau, dựa vào tỉ lệ các hệ số trong phương trình mặt phẳng.
Hai đường thẳng có thể trùng nhau, song song, cắt nhau hoặc chéo nhau, tùy thuộc vào vector chỉ phương và vị trí điểm.
13. Khoảng cách trong không gian
Các công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ điểm đến đường thẳng, từ đường thẳng đến đường thẳng chéo nhau được xây dựng dựa trên công thức tọa độ và tính chất hình học.
