Trong đề cương ôn tập học kỳ 2 môn Toán lớp 11 năm học 2020 – 2021 này, chúng ta sẽ tập trung vào những kiến thức trọng tâm và bài tập minh họa giúp các em học sinh trường Vinschool – Hà Nội chuẩn bị tốt cho kỳ kiểm tra khảo sát môn Toán cuối học kỳ 2.
I. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
- Giới hạn dãy số:
- Giới hạn hữu hạn của dãy số và định lý về giới hạn hữu hạn.
- Giới hạn vô cực của dãy số.
- Giới hạn hàm số:
- Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực.
- Giới hạn vô cực của hàm số.
- Giới hạn hàm số dạng vô định.
- Hàm số liên tục:
- Hàm số liên tục tại một điểm.
- Hàm số liên tục trên một khoảng.
- Đạo hàm và ứng dụng:
- Đạo hàm của các hàm số thường gặp, đạo hàm hàm hợp và đạo hàm hàm số lượng giác.
- Ý nghĩa của đạo hàm, cách viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
- Đạo hàm cấp 2.
- Quan hệ vuông góc trong không gian:
- Hai đường thẳng vuông góc; đường thẳng vuông góc với mặt phẳng; hai mặt phẳng vuông góc nhau.
- Góc giữa hai đường thẳng; góc giữa đường thẳng với mặt phẳng; góc giữa hai mặt phẳng.
- Khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến một mặt bên; khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau có quan hệ vuông góc.
II. BÀI TẬP MINH HỌA
A. Bài tập tự luận
Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và tính liên tục của hàm số
Bài 1. Tính các giới hạn sau:
- a) lip_{n o in} rac{2n^2 + 3n - 1}{2n^2 + n + 1}
- b) lip_{n o in} rac{3n^3 + 2n^2 + 3n}{2n^3 + 3n - 2}
- c) lip_{n o in} rac{3n^3 + 4}{3n^3 - n + 1}
- d) lip_{n o in} rac{2n + 1}{3.4n - 5.2}
- e) lip_{n o in} (3n^2 + 2n - 1)
- f) lip_{n o in} (4n^2 + 1 - 2n)
Bài 2. Tính các giới hạn:
- a) lip_{x o 3} (3x^2 - x + 1)
- b) lip_{x o -1} rac{3x + 2}{x + 1 + x}
- c) lip_{x o 3} rac{x^3 + 4}{x^2 + 3}
- d) lip_{x o 1} rac{x^2 - 1}{3x^2 - 2x + 1}
- e) lip_{x o 3} rac{x^2 - 9}{5x^2 - 6x + 1}
- f) lip_{x o 2} rac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 2x + 1}
- g) lip_{x o 1} rac{x^2 + 1}{3x - x^2 - 1}
- h) lip_{x o 1} rac{x^2 + x + 2}{3x - 2x^2 + 1 - x}
- i) lip_{x o -1} rac{x^2 + 1}{3x + 2 - x}
Bài 3. Tính giới hạn các hàm số khi x tiến đến + và - vô cực:
- a) lip_{x o +in} (2x^3 - 2x^2 - 3x + 1)
- b) lip_{x o -in} (4x^3 + 3x^2 + 1)
- c) lip_{x o +in} (3x^2 - 4x + 5)
- d) lip_{x o +in} rac{3x^2 + 4x + 2}{3x^2 + 2x - 1}
- e) lip_{x o +in} rac{3x^3 + 4x + 5}{3x^3 + 4x + 5}
- f) lip_{x o -in} rac{4x + 1}{4x - 1}
- g) lip_{x o -in} rac{5x - 2}{2x - 1}
- h) lip_{x o +in} (x^2 + x - 1)
- i) lip_{x o -in} (4x^3 + x^2 + 1 - 2)
Bài 4. Xét tính liên tục tại điểm x = 3 của hàm số:
f(x) = rac{x^2 - 5x - 3}{3x - 3} khi x neq 3, và f(3) = -1.
Bài 5. Xét tính liên tục của hàm số tuần tự ở từng khoảng xác định.
Bài 6. Tìm m sao cho hàm số:
f(x) = rac{x^2 + 2x - 1}{2} khi x > 2, và f(x) = m khi x leq 2.
liên tục tại x = 2.
Bài 7. Chứng minh các phương trình bậc ba, bốn đã cho có đúng số nghiệm thuộc các khoảng xác định.
Đạo hàm của hàm số và ứng dụng
Bài 8. Tính đạo hàm các hàm số được liệt kê, ví dụ y = 2x^3 + 4x^2 + x, y = sin x + cos x,...
Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số phức tạp hơn, ví dụ y = (x+1)^3,...
Bài 10. Giải các bất phương trình liên quan đến dấu của đạo hàm.
Bài 11. Tính đạo hàm cấp hai một số hàm số.
Bài 12-17. Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm xác định hoặc có các điều kiện cho trước như tiếp tuyến song song, vuông góc, có hệ số góc xác định, đi qua điểm cho trước,...
Bài 18-25. Các bài tập về hình học không gian, tập trung vào quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc, khoảng cách trong hình chóp, tứ diện, lăng trụ, hình hộp và các trường hợp đặc biệt.
B. Trắc nghiệm
Các câu hỏi trắc nghiệm kiểm tra kiến thức về giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, tính liên tục, đạo hàm và quan hệ vuông góc trong không gian được tổng hợp để học sinh luyện tập nhanh và tự đánh giá kỹ năng.
Ví dụ có những câu: mệnh đề về giới hạn dãy số với số nguyên k; chọn đáp án sai cho giới hạn hàm số; xác định giới hạn của dãy số; tính giới hạn các biểu thức hàm số; xác định tính liên tục của hàm số tại điểm; tính đạo hàm các hàm số đã cho; tính giá trị đạo hàm cấp hai; và các câu hỏi kiến thức hình học không gian về quan hệ vuông góc.
Thầy/cô thấy rằng phần bài tập minh họa rất đa dạng, từ tính giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, tính liên tục, cho đến đạo hàm và ứng dụng, bên cạnh phần hình học không gian về quan hệ vuông góc. Các em cứ ôn thật kỹ từng mảng kiến thức, làm quen dạng bài để chắc chắn kỹ năng giải đề thật tự tin nhé.
Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong kỳ kiểm tra sắp tới!
