Trong chương trình Toán THPT, dạng Toán về lũy thừa và logarit rất hay xuất hiện trong các đề thi, đặc biệt là các đề thi tốt nghiệp. Để giải nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đến mũ và logarit, việc áp dụng phương pháp hàm đặc trưng là rất hữu ích. Các em học sinh và đồng nghiệp hãy cùng thầy phân tích kỹ cách giải qua một vài ví dụ điển hình dưới đây nhé.
Câu 1: Tìm số cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn điều kiện
1 ≤ x ≤ 2020 và x + x^2 – 9^y = 3^y.
Để giải bài này, bước đầu tiên các em cần đưa biểu thức về dạng dễ nhận biết bằng cách biến đổi phương trình.
- Ta có: x + x^2 – 9^y = 3^y
⇔ x + x^2 = 3^y + 9^y
(1) - Xét hàm số f(t) = t + t^2 với t > 0
f'(t) = 1 + 2t > 0 với mọi t > 0, tức là f đồng biến trên (0; +∞). - Từ (1), ta suy ra: f(x) = f(3^y) ⇒ x = 3^y (do f đồng biến) và 1 ≤ x ≤ 2020.
- Do đó, x = 3^y và thỏa mãn điều kiện 1 ≤ 3^y ≤ 2020.
- Ta suy ra: y nguyên và 3^y ≤ 2020. Các giá trị y thỏa mãn sẽ là y = 0,1,2,3,4,5,6.
Do đó, có 7 giá trị y nguyên thỏa điều kiện, tương ứng 7 cặp (x, y).
Ghi nhớ: Nhờ việc sử dụng đặc điểm hàm đồng biến của f(t) = t + t^2, bài toán được giảm đơn giản chỉ còn xét các giá trị số mũ thỏa mãn điều kiện phạm vi x.
Câu 2: Một ví dụ nâng cao hơn
Cho số nguyên dương m < 2018, xét phương trình log2(m + √(m + 2^x)) = 2x có nghiệm thực. Hỏi có bao nhiêu giá trị m thỏa mãn?
Để giải dạng bài này thường cần áp dụng các mẹo tư duy và có thể thao tác nhanh bằng máy tính Casio khi luyện đề.
- Ta quan sát logarit bên trái và biểu thức m + √(m + 2^x) khá phức tạp, nên mục tiêu là biến đổi hoặc radicand để nhận biết điều kiện nghiệm.
- Nhờ câu này kết hợp tư duy hàm đặc trưng nên học sinh sẽ làm quen với việc đặt biểu thức hàm và khảo sát chiều biến thiên.
- Đây là dạng bài tập vận dụng khá cao, thường xuất hiện trong các đề thi thử hoặc đề thi THPT Quốc gia nâng cao.
Câu 3: Bài toán về giá trị thực của logarit
Xác định các số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn:
log4(x + y + 3) = log5(x² + y² + 2x + 4y + 5).
- Bài toán yêu cầu tìm điều kiện tồn tại y với x nguyên, là một nội dung cơ bản trong mũ – logarit nhưng lồng trong đó kỹ năng nhận biết và biến đổi.
- Học sinh cần vận dụng quan hệ giữa logarit, đối số logarit và tính chất phát triển hàm đa thức, hàm hữu tỉ.
- Việc này giúp các em nâng cao kỹ năng tư duy cũng như làm quen với các dạng toán khó để chinh phục các đề thi thử, đề chính thức.
Lưu ý nhỏ khi làm các bài tập trên: Thầy thấy nhiều bạn thường quên kiểm tra điều kiện xác định hàm logarit và biểu thức bên trong căn. Vì vậy, việc bạn đọc kỹ đề, xác định điều kiện miền xác định trước rồi mới tiến hành biến đổi là rất cần thiết.
Chúng ta cũng có thể luyện tập bằng việc sử dụng máy tính Casio để tính nhanh các phép tính mũ hoặc tra cứu nhanh giá trị hàm. Điều này giúp tiết kiệm thời gian khi làm bài trắc nghiệm.
Phương pháp hàm đặc trưng là công cụ hỗ trợ rất mạnh, giúp học sinh bước đầu tự tin xử lý các bài toán mũ, logarit dạng vận dụng cao. Các em cố gắng luyện tập nhiều để nâng cao kỹ năng nhé!
