Phương trình mũ và phương trình logarit là dạng bài quan trọng và khá phổ biến trong các đề thi đại học, đặc biệt thân thiện với học sinh lớp 10 đang làm quen với những khái niệm toán học mới này. Thầy/cô sẽ cùng các em điểm qua cách giải một cách chi tiết từng dạng cơ bản, giúp các em hiểu rõ bản chất và áp dụng linh hoạt trong các bài tập.
A. Phương pháp giải
1. Phương trình mũ
Chúng ta nhớ lại: Với mẫu số cơ sở a thỏa mãn 0 < a ≠ 1, ta có những dạng cơ bản như sau.
- Dạng 1: Dạng cơ bản
- Dạng 2: Đưa về cùng cơ số
- Với a > 0, a e 1, phương trình a^{f(x)} = a^{g(x)} tương đương với f(x) = g(x).
- Nếu cơ số thay đổi, ta xét dấu của a^{f(x)} - a^{g(x)} dựa trên tính đơn điệu của hàm mũ để giải.
- Dạng 3: Đặt ẩn phụ
- Dạng 4: Khảo nghiệm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất
Phương trình có dạng:
a^{f(x)} = a^{g(x)}, với 0 < a ≠ 1. Khi đó ta có thể chuyển phương trình thành f(x) = g(x).
Khi phương trình có dạng:
f(x) = g(x), được biểu diễn dưới dạng các hàm mũ cùng cơ số a (với 0 < a ≠ 1), ta chuyển về f(x) = g(x). Nếu cơ số a thay đổi, ta cần xét dấu:
Khi không trực tiếp so sánh được hai vế, ta hay đặt t = a^{x} (với t > 0), sau đó viết lại phương trình theo biến t và giải phương trình đại số tương ứng.
Sau khi tìm nghiệm, hãy luôn kiểm tra điều kiện để xác định nghiệm hợp lệ và chứng minh nghiệm duy nhất nếu đề bài yêu cầu.
2. Phương trình logarit
Xét phương trình logarit, ta luôn nhớ điều kiện xác định logarit:
- a > 0, a e 1
- f(x) > 0 để logarit xác định được.
- Dạng 1: Phương trình cơ bản
- Dạng 2: Đưa về cùng cơ số
- Dạng 3: Đặt ẩn phụ
- Dạng 4: Khảo nghiệm nghiệm và chứng minh nghiệm duy nhất
Phương trình dạng:
log_{a} f(x) = b, với 0 < a
e 1, tương đương với:
f(x) = a^{b}.
Phương trình dạng:
log_{a} f(x) = log_{a} g(x), với 0 < a
e 1 và hai biểu thức trong log đều > 0, thì phương trình tương đương với f(x) = g(x) > 0.
Tương tự phương trình mũ, khi gặp phương trình logarit phức tạp, ta có thể đặt ẩn phụ:
t = log_{a} x, với điều kiện x > 0, sau đó chuyển sang phương trình đại số theo t.
Một bước quan trọng là kiểm tra kỹ điều kiện xác định, đồng thời chứng minh nghiệm duy nhất nếu cần thiết.
B. Ví dụ minh họa đề thi
Bài tập sau đây là dạng bài thường gặp trong đề thi đại học, các em để ý cách vận dụng kiến thức nhé:
Bài 1: Đại học Khoái Nam 2011
Các bạn thử áp dụng các bước trên, đặt ẩn phụ hợp lý và chứng minh nghiệm duy nhất. Làm quen với dạng này rất hữu ích khi thi đại học hoặc các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
