Trong chuyên đề cực trị hình học không gian, chúng ta thường gặp những bài toán có mức độ vận dụng cao, rất hay xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán. Thầy/cô tổng hợp lại 20 bài toán nâng cao thuộc chuyên đề này kèm theo phân tích và lời giải chi tiết, giúp các em học sinh luyện tập có hiệu quả hơn.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SB = b và tam giác SAC cân tại đỉnh S. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = x, với 0 < x < a. Xét mặt phẳng đi qua M song song với hai đoạn thẳng AC và SB, mặt phẳng này cắt các cạnh BC, SC, SA lần lượt tại các điểm N, P, Q. Nhiệm vụ là xác định giá trị x để diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất.
Để giải, ta có các bước sau:
- Ta thấy MN // AC và tương ứng tỷ lệ MN = AC * BM / BA = a * (a - x) / a = a - x.
- Tam giác SAB có MQ song song với SB, và tỷ lệ MQ = SB * AM / BA = b * x / a.
- Diện tích thiết diện MNPQ là S = MN × MQ = b × (a - x) × x / a.
Muốn S lớn nhất, ta xét hàm f(x) = x(a - x). Hàm đạt cực đại tại x = a/2. Vậy diện tích thiết diện MNPQ đạt giá trị lớn nhất khi x = a/2.
Bài toán 2: Một bài toán tương tự với hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a và tam giác SBD cân tại đỉnh S. Trên cạnh AB và AD lần lượt lấy điểm M và N sao cho tỉ số AM/AB = AN/AD = k, với 0 < k < 1. Mặt phẳng qua MN song song với SA cắt các cạnh SD, SC, SB lần lượt tại P, Q và R. Xác định giá trị k để diện tích thiết diện MNPQR đạt giá trị lớn nhất.
Bài này các em sẽ vận dụng kiến thức về tỉ số đoạn thẳng và tính diện tích đa giác trong hình không gian, làm quen với dạng bài quen thuộc giúp các em có thêm kinh nghiệm luyện thi.
Bài toán 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a và hai điểm M, N lần lượt di động trên các đường chéo A'B và AC sao cho A'M = AN = x. Yêu cầu xác định x để độ dài đoạn thẳng MN đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 4: Cho hai đường thẳng Ax và By chéo nhau và vuông góc với nhau, trong đó AB = a là đường vuông góc chung. Hai điểm M, N lần lượt di động trên Ax và By sao cho MN = b (độ dài đã cho). Ta cần tìm độ dài đoạn thẳng AM theo a và b để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị lớn nhất.
Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD, biết tam giác BCD là tam giác đều cạnh a với tâm là điểm O. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn (BCD) là đường tròn lớn. Hỏi thể tích tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
Bài toán 6: Cho tam giác đều OAB có cạnh bằng a. Trên đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các đoạn MB và OB. Trên đoạn EF lấy điểm N sao cho N thuộc d. Xác định giá trị x để thể tích tứ diện ABMN đạt giá trị nhỏ nhất.
Những bài toán kiểu này rất hay xuất hiện ở các đề thi thử và kỳ thi chính thức. Qua việc luyện tập với bộ bài tập có lời giải chi tiết, các em sẽ hiểu rõ hơn cách tiếp cận, vận dụng kiến thức hình học không gian đặc biệt là chuyên đề cực trị để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đại lượng trong không gian.
