Môn Hình học lớp 12, chương 2, có phần kiến thức về mặt cầu và khối cầu là một phần rất quan trọng, nhất là khi các em tập trung ôn thi Tốt nghiệp THPT với mục tiêu đạt điểm từ 8 đến 10. Hôm nay thầy sẽ hệ thống lại lý thuyết và các dạng bài tập trắc nghiệm vận dụng cao (VDC) cho phần kiến thức này, rất phù hợp với các bạn học sinh khá - giỏi để vừa nắm chắc kiến thức lại rèn luyện kỹ năng giải bài tập khó.
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Trước tiên, ta ôn lại định nghĩa về mặt cầu và khối cầu. Mặt cầu tâm O, bán kính R được ký hiệu là S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm M trong không gian sao cho khoảng cách OM bằng R. Nói cách khác:
- Mặt cầu: Tập hợp các điểm M sao cho OM = R.
- Khối cầu (hình cầu): Tập hợp các điểm M sao cho OM ≤ R.
Tiếp theo, một điểm A có vị trí tương đối như thế nào so với mặt cầu S(O; R) được phân biệt như sau:
- Nếu OA = R thì điểm A nằm trên mặt cầu.
- Nếu OA > R thì điểm A nằm ngoài mặt cầu.
- Nếu OA < R thì điểm A nằm trong mặt cầu.
Đây là kiến thức cơ bản nhưng cực kỳ quan trọng vì khi xác định vị trí của điểm so với mặt cầu, cũng như trong việc giải các bài tập liên quan về vị trí tương đối, ta sẽ thường xuyên sử dụng định nghĩa này.
Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S(I; R) và đường thẳng Δ, gọi H là hình chiếu của I lên Δ, khoảng cách này là khoảng cách từ tâm mặt cầu đến đường thẳng, ký hiệu d(I, Δ) = IH.
- Nếu IH > R thì đường thẳng Δ không cắt mặt cầu, nghĩa là không có điểm chung.
- Nếu IH = R thì đường thẳng Δ tiếp xúc với mặt cầu tại đúng một điểm duy nhất là H, khi đó đường thẳng Δ gọi là tiếp tuyến của mặt cầu.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG CAO
Phần này rất quan trọng và thường gặp trong đề thi trắc nghiệm môn Toán lớp 12, đặc biệt là các bài tập vận dụng cao về mặt cầu và khối cầu. Thầy sẽ chia các dạng bài để các em tiện theo dõi và luyện tập.
Dạng 1. Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện
Để xác định mặt cầu ngoại tiếp một hình đa diện, chúng ta có thể áp dụng một trong ba cách sau:
- Cách 1: Tìm một điểm cách đều tất cả các đỉnh của khối đa diện. Theo định nghĩa, tâm mặt cầu ngoại tiếp phải là điểm này và bán kính là khoảng cách đến các đỉnh.
- Cách 2: Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp bằng giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên. Đây là phương pháp thường dùng nếu đa diện có cấu trúc nhất định như hình chóp hay lăng trụ.
- Cách 3: Dựa vào trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và trục của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên của đa diện để tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Dạng 2. Mặt cầu nội tiếp khối đa diện
Dạng bài tập này yêu cầu xác định mặt cầu nằm trong khối đa diện sao cho tiếp xúc với tất cả các mặt. Đây là dạng bài hóc búa, thường đòi hỏi sự kiến thức phối hợp chặt chẽ về hình học không gian và vận dụng các tính chất của hình học phẳng.
Dạng 3. Bài toán cực trị
Đây là dạng bài yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của các đại lượng liên quan đến mặt cầu và khối cầu như bán kính, khoảng cách, ... Bài toán thường đan xen kiến thức về hình học không gian và phương pháp giải tích hoặc sử dụng bất đẳng thức.
Dạng 4. Bài toán thực tế
Các bài toán ứng dụng thực tế thường liên quan tới các vật thể hình cầu hoặc các tình huống mô phỏng hình học trong đời sống, tuy vậy phần lớn nội dung cơ bản vẫn xoay quanh các lý thuyết và tính chất của mặt cầu và khối cầu.
Dạng 5. Dạng toán tổng hợp
Đây là dạng bài có sự kết hợp các kiến thức đa dạng của hình học không gian, phần lớn các câu hỏi vận dụng cao, yêu cầu học sinh phải nắm vững lý thuyết và biết cách lựa chọn phương pháp phù hợp để giải quyết.
Thầy nhận thấy việc nắm chắc lý thuyết trọng tâm và từng dạng bài trên sẽ giúp các em rất nhiều trong việc hệ thống kiến thức và dễ dàng đạt điểm cao trong các bài thi trắc nghiệm. Các em hãy chú ý luyện tập và ôn luyện thật kỹ phần này nhé!
