Trong chuyên đề ôn tập này, các em sẽ được làm quen với 124 bài toán trắc nghiệm thuộc chủ đề mặt nón, hình nón và khối nón. Đây là dạng bài rất hay gặp trong các kỳ thi và cũng giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn về các tính chất hình học của khối tròn xoay.
Các kiến thức trọng tâm mà các em cần nhớ bao gồm:
- Diện tích xung quanh của hình nón: S_{xq} = pi r l, trong đó r là bán kính đáy, l là đường sinh của hình nón.
- Diện tích đáy: S_{day} = pi r^2.
- Diện tích toàn phần: S_{tp} = S_{xq} + S_{day} = pi r l + pi r^2.
- Thể tích khối nón: V = (1/3) pi r^2 h, trong đó h là chiều cao.
Câu 1: Công thức liên quan giữa đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón
Cho các kí hiệu l, h, R lần lượt là đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình nón.
- Công thức đúng luôn là: l^2 = h^2 + R^2.
- Chú ý rằng công thức này là cơ bản để tính toán các đại lượng còn thiếu khi biết 2 đại lượng bất kỳ trong 3 l, h, R.
Câu 2: Diện tích xung quanh của hình nón
Công thức diện tích xung quanh mà các em hay gặp là S_{xq} = pi R l (bán kính nhân với đường sinh, nhân với pi).
Bài tập thường yêu cầu tính hoặc suy ra diện tích này dựa trên các thông số đã cho.
Câu 3: Diện tích toàn phần của hình nón
Công thức tính diện tích toàn phần là S_{tp} = pi r l + pi r^2 = pi r (l + r).
Nhiều bạn hay nhầm lẫn giữa diện tích xung quanh và diện tích toàn phần nên hãy nhớ kỹ công thức này nhé.
Ví dụ trích dẫn từ tài liệu:
- Cho tứ diện OABC với OA, OB, OC đôi một vuông góc. OA = 4a, OB = OC = 3a√2. Một mặt phẳng song song với (OBC) cắt AO, AB, AC lần lượt tại M, N, P. Gọi W là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP, S là hình chiếu vuông góc của W lên (OBC). Tính thể tích lớn nhất của khối nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
- Cắt bỏ hình quạt tròn AOB từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt còn lại với nhau để thành một cái phễu hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt 0 < x < 2π. Tìm thể tích lớn nhất của hình nón thu được.
- Đặt vào một hình nón hai khối cầu bán kính 1dm và 2dm sao cho các khối cầu đều tiếp xúc mặt xung quanh hình nón, hai khối cầu tiếp xúc nhau, khối cầu lớn tiếp xúc đáy hình nón. Hỏi bán kính đáy hình nón là bao nhiêu?
- Một bình nước dạng hình nón không có đáy đựng đầy nước. Thả vào bình một khối cầu đường kính bằng chiều cao bình, khối cầu tiếp xúc tất cả đường sinh của hình nón, chỉ một nửa khối cầu chìm trong nước, thể tích nước tràn ra là 18 dm³. Tính thể tích nước còn lại trong bình.
- Cho hình trụ có đường kính và chiều cao đều là 4. Một đường thẳng Δ cắt trục trụ, tạo góc 30 độ với trục và luôn cắt hai hình tròn đáy. Quay Δ quanh trục trụ được khối tròn xoay. Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của thể tích khối này.
Trong quá trình giải các bài toán này, các em sẽ vận dụng linh hoạt công thức diện tích, thể tích và các tính chất hình học không gian. Lưu ý các đặc điểm hình học như tam giác vuông, song song, quan hệ giữa các đường sinh, chiều cao và bán kính đáy sẽ rất hữu ích.
Thầy/cô thấy đây là một bộ bài tập rất tốt để ôn luyện, vừa nâng cao tư duy hình học không gian vừa giúp các em làm quen đề trắc nghiệm hiệu quả.
