Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 cấp tỉnh năm học 2023 - 2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm trong 8 trang, thời gian làm bài 90 phút. Đây là tài liệu hữu ích dành cho các bạn học sinh muốn nâng cao kỹ năng giải Toán và chuẩn bị cho các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
Bài toán xác suất trong mặt phẳng tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chúng ta lấy lần lượt 12 điểm phân biệt trên tia Ox (khác gốc O) là A_1, A_2, ..., A_{12} và 12 điểm phân biệt trên tia Oy (khác O) là B_1, B_2, ..., B_{12}, khoảng cách giữa các điểm được quy ước đơn vị. Khi chọn ngẫu nhiên một tam giác có 3 đỉnh từ 24 điểm này thì xác suất để tam giác đó có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy được xác định như thế nào? Đây là dạng bài xác suất kết hợp kiến thức hình học phẳng, rất thú vị và thường xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi.
Bài toán về hình chóp và tỷ lệ thể tích
Xét hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với hai cạnh đáy AB và CD song song. Gọi M là điểm di chuyển trên cạnh AB (thuộc đoạn AB) và N là trung điểm của cạnh SD. Mặt phẳng đi qua M, N và song song với cạnh AD sẽ chia khối chóp thành hai khối đa diện có tỷ lệ thể tích V_1 : V_2 = 1 : 3, trong đó V_1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh A và V_2 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B. Khi đó, tỉ số MA : CD = m : n với m, n là các số nguyên dương, phân số tối giản. Bài toán yêu cầu tìm tổng m + n. Đây là dạng bài hình học không gian điển hình, giúp luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về mặt phẳng song song và tính thể tích khối đa diện.
Bài toán tổ hợp chọn ban cán sự lớp
Một lớp học có 20 học sinh nam và 26 học sinh nữ. Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 3 học sinh làm ban cán sự bao gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập và 1 lớp phó văn thể. Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho trong ban cán sự đó có ít nhất một học sinh nam? Bài toán tổ hợp phối hợp vị trí này giúp các em thực hành kỹ năng đếm tổ hợp có điều kiện, rất phổ biến trong các đề thi môn Toán lớp 12.
Câu hỏi ví dụ trong đề thi
- Câu 1: Với đề xuất về cách chọn ban cán sự trong lớp gồm 20 học sinh nam và 26 học sinh nữ, các em hãy tính số cách chọn sao cho ít nhất có một học sinh nam trong ban cán sự (1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn thể). Các phương án đáp án được đưa ra để các em cân nhắc là: 75.480; 12.460; 75.580; 12.580.
- Câu 2: Tìm điều kiện của tham số m sao cho hàm số y = (3x^2 - 3x + 1)/(2x + m) đồng biến trên tập số thực 1. Đây là dạng bài kiểm tra kiến thức về hàm số và sự biến thiên, khá quan trọng trong toán lớp 12.
Những dạng bài và câu hỏi trên vừa kiểm tra kiến thức, vừa rèn luyện khả năng tư duy, vận dụng kiến thức Toán học lớp 12 vào các tình huống cụ thể. Các em nên chú ý cách trình bày lời giải, phân tích kỹ đề bài để đạt hiệu quả cao khi làm bài. Cùng luyện tập chăm chỉ để làm quen với nhiều dạng câu hỏi thú vị này nhé!
