Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11 năm học 2023-2024 của trường THPT Yên Phong số 2 gồm 6 câu với thời gian làm bài 150 phút, tập trung vào các dạng toán nâng cao của chương trình Toán 11.
Câu 1
Cho dãy số ((u_n)) với (u_n = -3n + 1).
- Chứng minh ((u_n)) là cấp số cộng với công sai (d = -3).
- Đặt (v_n = 2024 u_n), chứng minh ((v_n)) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội (q = frac{1}{2024^3}) và tính tổng dãy số này.
Câu 2
- Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình (tan(3x - frac{pi}{7}) = sqrt{2} - 1).
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số (y = frac{1 - sin x + 2 cos x}{3 + sin x - cos x}) dựa trên điều kiện có nghiệm của phương trình (a sin x + b cos x = c).
Câu 3
- Tìm giá trị (m) để hàm số (f(x)) liên tục tại (x=1), với (f(x) = frac{1}{x-1} - frac{3}{x^3 - 1}) khi (x>1) và (f(x) = |x^2 + m|) khi (x le 1).
- Tính giới hạn (lim_{x to 0} frac{sqrt{1+16x} cdot sqrt[3]{1 - 27x} - 1}{x}).
Câu 4
Tính xác suất chọn được một số nguyên dương có 5 chữ số mà hai chữ số kề nhau luôn khác nhau. Tổng số các số có 5 chữ số là 9.10^4, số thoả mãn là 9^5 nên xác suất là (left(frac{9}{10}right)^4 = 0,6561).
Câu 5
Tính diện tích tam giác tạo bởi các điểm giao nhau của parabol (y = x^2 - 2x) và đường tròn (x^2 + y^2 - 4x - 2y=0), các điểm giao nhau là (O(0,0)), (A(3,3)), (B(1,-1)), tính diện tích tam giác (OAB) bằng 3 đơn vị diện tích.
Câu 6
Cho hình chóp (S.ABCD) với đáy hình bình hành và các điểm đặc biệt như trung điểm, trọng tâm, giao điểm được xác định để chứng minh tính chất hình học, xác định giao điểm đường thẳng với mặt phẳng và tính tỉ số đoạn thẳng trong không gian.
Đề thi giúp học sinh lớp 11 ôn luyện kiến thức cấp số cộng, cấp số nhân, lượng giác, hàm số, giới hạn, xác suất, hình học phẳng và không gian. Đáp án kèm theo chi tiết từng bước giải giúp học sinh hiểu rõ cách giải và áp dụng vào bài tập tương tự.
