Tài liệu này cung cấp kiến thức và bài tập về ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, phù hợp cho học sinh lớp 11. Nội dung bao gồm các định nghĩa về tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất nhỏ nhất, các loại tiệm cận cùng với ví dụ minh họa và bài tập thực tế.
Phần 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số
- Mô tả tính đồng biến, nghịch biến của hàm số qua đạo hàm và đồ thị.
- Cách xác định cực trị bằng đạo hàm và lập bảng biến thiên.
- Ví dụ thực tế về áp dụng tính đơn điệu vào các bài toán chuyển động, bài toán có tham số, và bài toán hàm hợp.
Ví dụ, để xét tính đơn điệu của hàm số, ta tìm tập xác định, tính đạo hàm và xét dấu đạo hàm trên từng khoảng. Nếu đạo hàm dương thì hàm số đồng biến, nếu đạo hàm âm thì hàm số nghịch biến.
Phần 2: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
- Định nghĩa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn, khoảng.
- Các bước tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng cách tìm điểm đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định, lập bảng biến thiên và so sánh giá trị tại các điểm cực trị và endpoints.
- Ứng dụng bất đẳng thức để ước lượng giá trị lớn nhất nhỏ nhất.
- Bài toán thực tế áp dụng giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong thiết kế và tối ưu.
Phần 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số
- Định nghĩa tiệm cận đứng, ngang, xiên cùng các giới hạn liên quan.
- Cách xác định các đường tiệm cận dựa vào bảng biến thiên hoặc giới hạn hàm số.
- Bài toán liên quan đến góc, khoảng cách, diện tích với tiệm cận.
- Giá trị gần về tiệm cận trong các bài toán thực tế.
Phần 4: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số cơ bản
- Tổng hợp các bước khảo sát hàm số: xác định tập xác định, khảo sát đạo hàm, xác định tiệm cận, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị.
- Nhận dạng các dạng hàm số dựa vào đồ thị và bảng biến thiên.
- Bài tập khảo sát hàm số bậc ba, hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất, hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất.
Toàn bộ kiến thức được trình bày với các ví dụ minh họa đầy đủ, gồm: tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận, và ứng dụng vào bài toán thực tế như vận tốc chuyển động, lợi nhuận sản xuất, xây dựng,... Các câu hỏi trắc nghiệm và tự luận giúp học sinh nắm chắc kỹ năng khảo sát hàm số bằng đạo hàm và đồ thị.
