Trong bộ sưu tập bài tập về khối tròn xoay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn luyện phần quan trọng về mặt cầu – khối cầu cũng như các công thức tính diện tích và thể tích phần này. Tài liệu do thầy Trần Sĩ Tùng biên soạn, tuyển chọn kỹ lưỡng với 12 trang bài tập có lời giải chi tiết, rất hữu ích cho các bạn học sinh lớp 12.
I. Mặt cầu – Khối cầu
1. Định nghĩa
Mặt cầu S(O; R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách một điểm O cố định một khoảng bằng R. Ký hiệu mặt cầu là S(O; R).
Khối cầu V(O; R) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách điểm O không quá R, tức là bao gồm cả các điểm bên trong và trên mặt cầu S(O; R).
2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Xét mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P). Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng (P).
- Nếu d < R, mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo một giao tuyến là đường tròn, với tâm H trên mặt phẳng và bán kính r, trong đó r = √(R² - d²).
- Nếu d = R, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm tiếp xúc H. Mặt phẳng này gọi là tiếp diện của mặt cầu.
- Nếu d > R, mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung.
- Trường hợp đặc biệt d = 0, nghĩa là mặt phẳng đi qua tâm O, thì giao tuyến là đường tròn lớn có bán kính bằng R.
3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Xét mặt cầu S(O; R) và đường thẳng D. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng D.
- Nếu d < R, đường thẳng D cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.
- Nếu d = R, đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu.
- Nếu d > R, đường thẳng và mặt cầu không giao nhau.
4. Mặt cầu ngoại tiếp – nội tiếp
Trong hình học không gian, ta thường quan tâm đến việc xác định mặt cầu ngoại tiếp hoặc nội tiếp các khối đa diện. Một số chú ý sau đây có thể giúp các bạn xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp:
5. Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
- Cách 1: Nếu (n – 2) đỉnh của đa diện nhìn hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông, thì tâm mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó.
- Cách 2: Để xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, làm theo các bước sau:
- Xác định trục D của đáy: Đây là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
- Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên.
- Giao điểm của mặt phẳng (P) và trục D chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
II. Diện tích – Thể tích
Phần còn lại trong tài liệu tổng hợp chi tiết các bài tập về tính diện tích và thể tích của các khối tròn xoay, mặt cầu và khối cầu, giúp các em hệ thống hóa kiến thức cũng như luyện tập vận dụng các công thức một cách thành thạo. Qua đó, các bài tập hướng đến việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và chuẩn bị tốt cho các kỳ thi quan trọng.
Thầy/cô thấy đây là phần rất quan trọng, các em nên làm nhiều dạng bài tập, kết hợp với việc ghi nhớ kỹ các kiến thức về vị trí tương đối, công thức diện tích và thể tích để đạt hiệu quả cao trong học tập.
Hy vọng với tập bài tập này, các bạn sẽ có thêm tài liệu giá trị để ôn tập, luyện giải nhanh gọn các dạng bài quan trọng về khối tròn xoay và mặt cầu trong Toán 12.
