Trong chương trình Toán lớp 12, các dạng bài toán về giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) thường xuất hiện dưới nhiều dạng khác nhau, đặc biệt là những bài liên quan đến hàm số mũ và logarit. Đây là dạng bài rất hay gặp trong các kỳ thi thử và kỳ thi tốt nghiệp THPT, do đó việc nắm vững phương pháp giải sẽ giúp các em tự tin và làm tốt khi gặp phải trong đề thi.
1. Dạng 1: Đặt ẩn phụ để biến đổi logarit
Các em lưu ý, với những bài toán mà biểu thức có dạng chứa logarit như (), ta có thể áp dụng đặt ẩn phụ để biến đổi biểu thức về dạng hàm số một biến. Cách làm này giúp giản lược bài toán và dễ dàng tìm được GTLN hoặc GTNN.
Hướng 1: Nếu biểu thức có dạng (f(log_a b, log_b a)), ta đặt ẩn (t = log_a b), từ đó (log_b a = frac{1}{t}), biểu thức trở thành hàm số một biến số (t).
Hướng 2: Với bài toán có dạng liên quan đến hai biến (u, v) mà (u = a^p), (v = b^p) sao cho (uv = ab), ta đặt (t = log_a b). Thông qua đó, các biểu thức liên quan biến thành hàm theo (t), giúp dễ dàng sử dụng các công cụ tính cực trị.
Hướng 3: Nếu biểu thức có dạng liên quan đến ba biến (u, v, p) với điều kiện (u = a^{q}), (v = b^{p}), (uv = ab), ta cũng tiến hành đặt ẩn thích hợp biến biểu thức thành hàm số một biến thuận tiện cho việc tìm GTLN, GTNN.
2. Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Cauchy-Schwarz, v.v.)
Sau khi biến đổi biểu thức về dạng hàm số một hoặc hai biến, các em có thể áp dụng các bất đẳng thức nổi tiếng để tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Ví dụ, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz rất hữu ích khi biểu thức có tích hoặc tổng các biến số dương. Thầy/cô thấy nhiều bạn thường áp dụng không đúng điều kiện dẫn đến kết quả sai, nên cần chú ý điều kiện áp dụng bất đẳng thức nhé.
3. Dạng 3: Tìm cực trị bằng phương pháp hình học
Bên cạnh các phương pháp đại số, có những bài toán GTLN, GTNN có thể suy ra bằng cách xét hình học, như dùng chu vi hoặc diện tích các hình, hoặc dựa vào định nghĩa hình học của các hàm số mũ và logarit. Cách này rất trực quan và nhanh chóng khi em đã quen với hình ảnh biểu diễn.
Làm quen với dạng toán này rất hữu ích khi thi tốt nghiệp THPT, vì dạng bài này luôn xuất hiện và chiếm điểm quan trọng trong phần Toán nâng cao. Các em nên luyện tập tích cực với các bài toán có cấu trúc như trên để thuần thục cách đặt ẩn phụ, vận dụng bất đẳng thức, và suy luận hình học.
