A. Kiến Thức Cơ Bản Cần Nắm
1. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Phép thử ngẫu nhiên là những phép thử mà kết quả xảy ra không thể đoán trước được, dù tập hợp các kết quả có thể xảy ra được xác định rõ, gọi tập hợp này là không gian mẫu, ký hiệu ( Omega ) (ômega). Ví dụ, khi gieo một con xúc xắc, ( Omega = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ).
Chú ý:
- Kết quả có thể xảy ra cùng xác suất như nhau gọi là đồng khả năng.
- Kết quả thuận lợi của biến cố (A) là một kết quả khiến biến cố (A) xảy ra.
2. Xác suất của biến cố
Giả sử các kết quả của phép thử là đồng khả năng, xác suất của biến cố (A), ký hiệu (P(A)), được tính bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố (A) và tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu (Omega):
[ P(A) = frac{text{Số kết quả thuận lợi cho }A}{text{Tổng số kết quả trong } Omega} ]
Cách xác định xác suất:
- Bước 1: Xác định phép thử và kiểm tra các kết quả có đồng khả năng không.
- Bước 2: Liệt kê và đếm số phần tử trong không gian mẫu (Omega).
- Bước 3: Xác định và đếm số kết quả thuận lợi cho biến cố (A).
- Bước 4: Tính tỉ số xác suất theo công thức trên.
B. Bài Tập Áp Dụng
- Câu 1: Trên mặt phẳng cho năm điểm phân biệt (A, B, C, D, E), trong đó không có ba điểm thẳng hàng. Hai điểm (A, B) tô đỏ, ba điểm (C, D, E) tô xanh. Chọn ngẫu nhiên một điểm đỏ và một điểm xanh để nối thành đoạn thẳng. Tính xác suất biến cố "Trong hai điểm được chọn có điểm (A)".
Lời giải: Không gian mẫu là các đoạn thẳng nối đỏ - xanh, gồm 6 đoạn ({AC, AD, AE, BC, BD, BE}), đều đồng khả năng.
Số kết quả thuận lợi biến cố là 3 (đoạn có điểm (A) là: (AC, AD, AE)).
Xác suất biến cố là (P = frac{3}{6} = frac{1}{2}). - Câu 2: Hộp có 20 viên bi được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một viên. Tính xác suất viên bi lấy ra có số chia 7 dư 1.
Lời giải: Các số chia 7 dư 1 trong (1) đến (20) là (1, 8, 15) (3 số).
Xác suất là (frac{3}{20}). - Câu 3: Túi có 5 viên bi đánh số 1 đến 5. Lấy ngẫu nhiên 2 viên. Tính xác suất tích số trên 2 viên bi lớn hơn 10.
Lời giải: Không gian mẫu gồm 10 cặp lấy 2 viên: ((1,2), (1,3), ..., (4,5)).
Các cặp có tích lớn hơn 10: ((3,4), (3,5), (4,5)), 3 trường hợp.
Xác suất là (frac{3}{10}). - Câu 4: Quay một đĩa tròn chia thành 12 phần bằng nhau, đánh số 1 đến 12. Tính xác suất kim chỉ vào số nguyên tố.
Lời giải: Không gian mẫu có 12 kết quả.
Số nguyên tố trong 1 đến 12 là 2, 3, 5, 7, 11 (5 số).
Xác suất là (frac{5}{12}). - Câu 6: Túi đựng 6 quả bóng: 2 đỏ, 2 trắng, 2 xanh. Lấy 2 quả ngẫu nhiên không nhìn. Tính xác suất lấy được ít nhất 1 quả đỏ.
Lời giải: Tổng số cách lấy 2 quả: 15.
Số trường hợp có ít nhất 1 đỏ: 9.
Xác suất là (frac{9}{15} = frac{3}{5}). - Câu 7: Viết ngẫu nhiên số tự nhiên lẻ có 2 chữ số. Tính xác suất số viết ra là bình phương số tự nhiên.
Lời giải: Các số tự nhiên lẻ 2 chữ số có 45 số (11, 13,...,99).
Bình phương số tự nhiên lẻ có 3 số: 25, 49, 81.
Xác suất là (frac{3}{45} = frac{1}{15}). - Câu 8: Gieo xúc xắc 6 mặt. Tính xác suất mặt lên là bội của 3.
Lời giải: Bội của 3 là 3 và 6: 2 trường hợp trên 6.
Xác suất là (frac{2}{6} = frac{1}{3}). - Câu 9: Quay đĩa tròn 8 phần bằng nhau đánh số 1 đến 8. Tính xác suất kim chỉ vào số là ước của 8.
Lời giải: Ước của 8: 1, 2, 4, 8 (4 số).
Xác suất là (frac{4}{8} = frac{1}{2}). - Câu 19: Hộp 10 viên bi đánh số 1 đến 10. Lấy 1 viên bi ngẫu nhiên. Tính xác suất số bi là số nguyên tố.
Lời giải: Số nguyên tố là 2, 3, 5, 7 (4 số).
Xác suất là (frac{4}{10} = frac{2}{5}). - Câu 50: Công nhân ở 5 bộ phận với tỷ lệ Lợp mái 20%, Ốp gạch 10%, Lát nền 25%, Trát tường 15%, Xây tường 30%. Tính xác suất chọn ngẫu nhiên 1 công nhân không thuộc bộ phận Lát nền hoặc Lợp mái.
Lời giải: Tỷ lệ thuộc Lát nền hoặc Lợp mái là 25% + 20% = 45%.
Xác suất không thuộc các bộ phận này là 100% - 45% = 55% = 0,55. - Câu 53: Hộp có 3 viên bi vàng (đánh số 1, 2, 3) và 2 viên bi nâu (4, 5). Lấy 2 viên cùng lúc. Tính xác suất lấy được hai viên khác màu.
Lời giải: Tổng số cặp lấy ra là 10.
Cặp khác màu có 6 trường hợp.
Xác suất là (frac{6}{10} = frac{3}{5}). - Câu 54: Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có 4 chữ số từ 0-9. Tính xác suất vé không có chữ số 3.
Lời giải: Mỗi chữ số không phải 3 có 9 lựa chọn.
Tổng vé có 4 chữ số: (10^4 = 10000).
Vé không có chữ số 3: (9^4 = 6561).
Xác suất là (frac{6561}{10000} = 0,6561).
