Chuyên đề: Phương trình mũ – Logarit
Trong chuyên đề này, chúng ta sẽ cùng ôn tập và hệ thống lại kiến thức cơ bản về lũy thừa, tiền đề quan trọng để hiểu sâu về phương trình mũ và phương trình logarit. Thầy thấy nhiều bạn khi mới học phần này thường nhầm lẫn các tính chất, nên hãy chú ý từng phần nhé.
1. Định nghĩa lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên được định nghĩa như sau: với cơ số a (thuộc tập số thực) và số mũ n là số tự nhiên, lũy thừa a mũ n (ký hiệu a^n) được hiểu là tích của n thừa số a:
a^n = a × a × ... × a (n thừa số)
Trong trường hợp đặc biệt:
- a^0 = 1 với điều kiện a khác 0
- a^1 = a
Đối với số mũ nguyên âm, ta có định nghĩa:
a^{-n} = 1 / a^n với a khác 0, n là số tự nhiên.
Khi số mũ là phân số (m/n), lũy thừa được hiểu qua căn bậc n:
a^{m/n} = (a^{1/n})^{m} = ( oot n ext{của } a)^m, với a dương.
Để chắc chắn, chúng ta cũng sử dụng giới hạn để định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ, đảm bảo tính liên tục và chính xác trong các trường hợp mở rộng.
2. Tính chất của lũy thừa
Với hai số thực dương a, b, ta có các tính chất quan trọng sau:
- a^{9} imes a^{b2} = a^{9+b2}
- rac{a^{9}}{a^{b2}} = a^{9-b2}
- (a^9)^b2 = a^{9 imes b2}
- (a imes b)^9 = a^{9} imes b^{9}
- ig(rac{a}{b}ig)^9 = rac{a^{9}}{b^{9}}
Về quan hệ so sánh, với a > 1 thì a^9 > a^b2 khi 9 > b2, còn với 0 < a a^b2 khi 9 < b2.
Ngoài ra, với hai cơ số a, b thỏa 0 < a 0:
- a^m < b^m
Và với m < 0:
- a^m > b^m
Lưu ý: Những tính chất này rất quan trọng khi giải các phương trình mũ và logarit, vì bạn sẽ dựa vào đó để chuyển đổi biểu thức và so sánh các biểu thức có dạng lũy thừa.
Chúng ta cùng làm quen và nhớ kĩ phần này vì thường xuyên xuất hiện trong các bài thi, nhất là các dạng bài yêu cầu biến đổi để rút gọn hoặc chứng minh bất đẳng thức liên quan đến luỹ thừa.
