Trong chương trình Toán 12, phần thể tích khối đa diện là một chuyên đề quan trọng, đặc biệt là dạng toán tính thể tích khối chóp. Thầy/cô sẽ cùng các em học sinh cũng như đồng nghiệp ôn lại các dạng bài phổ biến thường gặp, kèm theo phương pháp giải và bài tập minh họa để các em nắm chắc kiến thức và vận dụng hiệu quả.
Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy
Cho hình chóp S.ABCD, nếu cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, thì:
- Đường cao: chính là cạnh SA
- Thể tích khối chóp: V = (1/3) × SA × S_ABCD, trong đó S_ABCD là diện tích mặt đáy ABCD
Vấn đề quan trọng ở đây là xác định đúng cạnh bên vuông góc với đáy, từ đó dễ dàng tìm được đường cao và tính thể tích.
Dạng 2: Khối chóp có mặt bên là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt đáy
Với hình chóp S.ABCD, giả sử mặt bên SAB là tam giác cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, thì:
- Đường cao: SH, với H là trung điểm của cạnh AB
- Thể tích: V = (1/3) × SH × S_ABCD
Học sinh lưu ý xác định điểm H đúng là trung điểm của cạnh đáy và đường cao SH nằm trong mặt bên vuông góc với đáy.
Dạng 3: Khối chóp có hình chiếu của đỉnh S trên mặt đáy là điểm H
Cho hình chóp S.ABC, khi hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy là điểm H thuộc mặt đáy, thì:
- Đường cao: đoạn thẳng SH
- Thể tích: V = (1/3) × SH × S_ABC
Phương pháp này giúp các em tận dụng hình chiếu vuông góc để tính chiều cao, rất hữu ích trong việc giải bài tập.
Dạng 4: Khối chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy
Cho hình chóp S.ABCD, nếu hai mặt (SAB) và (SBC) cùng vuông góc với mặt đáy, thì:
- Đường cao: là đoạn thẳng SB
- Thể tích: V = (1/3) × SB × S_ABCD
Đây là dạng bài cần chú ý quan hệ giữa các mặt bên và mặt đáy, từ đó xác định chính xác đường cao.
Dạng 5: Khối chóp đều
Trường hợp khối chóp đều được xem xét như sau:
- Với hình chóp tam giác đều S.ABC:
Đường cao là SG, với G là trọng tâm tam giác ABC.
Thể tích: V = (1/3) × SG × S_ABC - Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD:
Đường cao là SO, với O là tâm hình vuông ABCD.
Thể tích: V = (1/3) × SO × S_ABCD
Việc xác định trung điểm, trọng tâm hay tâm hình vuông là rất quan trọng để tìm được đúng chiều cao trong trường hợp khối chóp đều.
Bài tập minh họa:
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh SA vuông góc với đáy, biết SA = 2a. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Phân tích và giải: Với SA vuông góc đáy, đường cao = SA = 2a. Diện tích đáy S_ABC là diện tích tam giác đều cạnh a là (a^2√3)/4.
Thể tích V = (1/3) × SA × S_ABC = (1/3) × 2a × (a^2√3 /4) = (a^3√3)/6.
Các em chú ý chọn đáp án tương ứng với kết quả tính được.
Câu 2: Cho tứ diện O.ABC với các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết OA = 2 cm, OB = 3 cm, OC = 6 cm. Tính thể tích khối tứ diện O.ABC.
Hướng giải: Với ba cạnh đôi một vuông góc ở đỉnh O, tứ diện này tương ứng với một phần khối hộp chữ nhật. Thể tích tứ diện là (1/6) × OA × OB × OC = (1/6) × 2 × 3 × 6 = 6 cm³.
Các em lưu ý vận dụng đúng công thức thể tích và tính toán chính xác để chọn đáp án phù hợp.
Thầy/cô hy vọng việc ôn tập dạng toán thể tích khối chóp theo từng trường hợp cụ thể trên sẽ giúp các em tự tin hơn khi gặp bài tập liên quan cũng như chuẩn bị tốt cho các kì thi sắp tới.
