Phần I: Đại số và Giải tích
A. Lý thuyết cần nắm
- Các khái niệm về hàm số lượng giác như hàm số chẵn, lẻ, chu kỳ, tập xác định, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
- Các dạng phương trình lượng giác căn bản và thường gặp.
- Quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và công thức nhị thức Newton.
- Phương pháp chứng minh quy nạp toán học và cách vận dụng.
- Kiến thức về dãy số: nhận biết dãy số tăng, giảm, bị chặn.
- Khái niệm cấp số cộng, cấp số nhân và tính chất của chúng.
B. Các dạng bài tập
- Tìm tập xác định, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
- Giải các phương trình lượng giác cơ bản và một số phương trình thường gặp.
- Bài tập áp dụng quy tắc đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và khai triển nhị thức Newton.
- Tính xác suất các biến cố, sử dụng công thức cộng và nhân xác suất.
- Chứng minh các mệnh đề liên quan đến số tự nhiên bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
- Áp dụng tính chất của dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân để xác định số hạng tổng quát và các đặc trưng của dãy số.
C. Bài tập minh họa
Dưới đây là các dạng bài tập mẫu từng phần cụ thể giúp các em ôn luyện hiệu quả.
1. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
- Tìm tập xác định của hàm số: ví dụ 5 sin x + 1 sin x - 1, 2 tan 2 x + 1 cos x - 1, cot x sin x + 1, ...
- Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số như y = 3 cos 2x + 2, y = 1 - 5 sin 3x , y = 4 cos (2x + 9C0/5), y = cos 3x - sin x,...
- Giải các phương trình lượng giác dạng: 2 sin 2x + 0 = 0, sin 2x - 3/2 = 0, cot 20 + cot 60 = 0, tan (3x/C0) = 1, ... và các phương trình phức tạp hơn như 2 cos 3x - 4 cos 2x + 3 = 0, sin cos x + cos sin x = 1, 5 tan 2x cot 3x = 0, ...
2. Tổ hợp và Xác suất
- Đếm các số tự nhiên có hai chữ số với điều kiện: hai chữ số đều chẵn, khác nhau, bé hơn 100, ...
- Tính số cách chọn người, sắp xếp học sinh theo từng câu hỏi cụ thể như chọn 3 từ 10 người, sắp xếp 5 người đứng 1 hàng, ...
- Ứng dụng công thức nhị thức Newton để tìm hệ số trong khai triển, ví dụ khai triển (10 + 3x)^n, (1 - 2x)^15, ...
- Bài tính xác suất chọn ngẫu nhiên một số hoặc một nhóm phần tử thỏa điều kiện nhất định như xác suất chọn đúng 2 viên bi xanh từ hộp, xác suất chọn học sinh giỏi trong lớp, ...
3. Dãy số và cấp số cộng, cấp số nhân
- Chứng minh các công thức tổng quát của dãy số: ví dụ tổng các bình phương, tổng nhân các số hạng theo quy luật.
- Tính số hạng, tổng số hạng của cấp số cộng hoặc cấp số nhân cho trước, tìm công sai hoặc công bội dựa vào điều kiện đã cho.
- Bài tập liên quan đến các vấn đề thực tế như tìm các số liên tiếp lập thành cấp số cộng, tổng các số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước.
Lưu ý: Thầy cô và các em nên tập giải chi tiết từng dạng để nắm vững kiến thức, tránh nhầm lẫn và có giải pháp ôn tập phù hợp cho kỳ thi sắp tới.
Phần II: Hình học
A. Lý thuyết cần nắm
- Khái niệm về các phép biến hình trong mặt phẳng: phép tịnh tiến, đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự.
- Kiến thức về quan hệ song song: hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song và tính chất liên quan.
B. Các dạng bài tập
- Vận dụng tính chất và định nghĩa các phép biến hình để tìm ảnh của điểm, đường thẳng hoặc đường tròn qua một hoặc hai phép biến hình. Ví dụ: cho hình vuông ABCD tâm O, xác định phép quay biến tam giác OAD thành tam giác ODC.
- Áp dụng các tính chất, định lý trong quan hệ song song để tìm giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng hoặc giao tuyến hai mặt phẳng, xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng.
- Chứng minh các mệnh đề liên quan đến song song đường thẳng và mặt phẳng hoặc song song hai mặt phẳng.
C. Bài tập minh họa
Sau đây là một số câu hỏi vận dụng các kiến thức lý thuyết trên:
- Cho hình lục giác đều ABCDEF tâm O, phép tịnh tiến theo vectơ AB biến các điểm cụ thể như thế nào?
- Trong mặt phẳng tọa độ, phương trình đường thẳng sau phép vị tự tâm O tỉ số k bằng bao nhiêu và có dạng gì?
- Xác định phép quay hoặc phép tịnh tiến biến tam giác này thành tam giác khác, ảnh của điểm qua các phép biến hình.
- Cho hình chóp S.ABCD, xác định giao tuyến các mặt phẳng qua các điểm trung điểm của các cạnh; tìm thiết diện cắt qua một mặt phẳng cụ thể.
- Chứng minh các mệnh đề về song song trong hình học không gian, xác định tứ giác đặc biệt trong các hình chóp, hình bình hành.
Lời khuyên: Khi làm các bài hình học này, học sinh hãy nhớ vẽ hình chính xác và chú ý các tính chất của phép biến hình để có thể giải nhanh, đúng và dễ kiểm tra lại kết quả.
