Nhằm giúp các em học sinh lớp 10 ôn tập hiệu quả cho kỳ kiểm tra giữa học kỳ 2, thầy cô chúng ta cùng nhau xem xét đề kiểm tra môn Toán của trường THPT Lê Lợi, tỉnh Kon Tum, năm học 2023 - 2024. Kỳ thi diễn ra vào ngày 21 tháng 03 năm 2024 với thời gian 90 phút, đề gồm phần trắc nghiệm khách quan và phần tự luận có hướng dẫn chấm điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (7 điểm)
Câu 1: Cho trong mặt phẳng tọa độ Oxy hai đường thẳng ( Delta_1 ) và ( Delta_2 ) có phương trình lần lượt là ( a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 ) và ( a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 ). Xét hệ phương trình:
( begin{cases} a_1 x + b_1 y + c_1 = 0 \ a_2 x + b_2 y + c_2 = 0 end{cases} )
Các em hãy xác định khẳng định nào dưới đây sai:
- A. ( Delta_1 ) vuông góc với ( Delta_2 ) khi và chỉ khi hệ trên không có nghiệm.
- B. ( Delta_1 ) cắt ( Delta_2 ) khi và chỉ khi hệ trên có nghiệm duy nhất.
- C. ( Delta_1 ) trùng với ( Delta_2 ) khi và chỉ khi hệ trên có vô số nghiệm.
- D. ( Delta_1 ) song song với ( Delta_2 ) khi và chỉ khi hệ trên vô nghiệm.
Lưu ý: Đây là câu hay gây nhầm lẫn bởi cách xác định tính chất các đường thẳng qua số nghiệm hệ phương trình. Các em nhớ kỹ để tránh sai sót khi làm bài nhé!
Câu 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm ( M(0;2) ) và đường thẳng ( Delta: 2x - 3y + 5 = 0 ). Một câu hỏi phổ biến ở phần này là: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ( Delta ) bằng công thức nào đúng nhất?
Để tiện ôn tập, các em nhớ lại công thức khoảng cách từ điểm ( M(x_0,y_0) ) đến đường thẳng ( ax + by + c = 0 ) là:
( d = dfrac{|a x_0 + b y_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}} )
Đây là công thức rất hữu ích, áp dụng nhiều khi giải bài tập hình học phẳng liên quan đến tọa độ.
II. PHẦN TỰ LUẬN (3 điểm)
Câu 1: Cho hai điểm A và B trong mặt phẳng tọa độ Oxy với tọa độ ( A(-3;0) ) và ( B(1;-2) ), cùng một đường thẳng ( d: x + y - 1 = 0 ). Phần xét các em thường gặp gồm:
- a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB.
- b) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có chu vi nhỏ nhất.
Thầy cô gợi ý với câu a), các em lấy vectơ ( overrightarrow{AB} = (1 - (-3), -2 - 0) = (4, -2) ) để viết phương trình tham số dạng:
( begin{cases} x = x_0 + t v_x = -3 + 4t \ y = y_0 + t v_y = 0 - 2t end{cases} ), ( t in mathbb{R} )
Với câu b), để tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho chu vi tam giác ABM nhỏ nhất, các em cần sử dụng kiến thức về định lí, cô nhớ mang theo vectơ, công thức khoảng cách và tính chất tổng các đoạn thẳng trong mặt phẳng.
Để giải kỹ các bước, các em nên cẩn thận phân tích bài toán, tổng hợp các đoạn thẳng rồi tìm điều kiện chi phối để tổng đó nhỏ nhất (bằng cách sử dụng tọa độ tham số của M trên d, tính biểu thức chu vi, lấy đạo hàm hoặc biến đổi đại số).
Đây là dạng bài tập rất hay gặp trong đề kiểm tra cũng như các kỳ thi lên lớp trên, không chỉ giúp rèn luyện kỹ năng tính toán mà còn khả năng lập luận hình học.
