Thầy cô và các em học sinh lớp 11 thân mến, hôm nay thầy muốn chia sẻ đến các em đề kiểm tra giữa học kỳ 2 môn Toán lớp 11 của trường THPT Dĩ An, năm học 2023 – 2024. Đây là một đề thi được biên soạn theo cấu trúc trắc nghiệm mới nhất, gồm ba phần chính: câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, câu trắc nghiệm trả lời ngắn, và phần tự luận. Đề có đầy đủ đáp án cũng như hướng dẫn chấm điểm cho các mã đề 189, 256, 378 và 416, rất tiện để các em luyện tập và kiểm tra lại kiến thức của mình.
Bài tập mẫu trong đề thi giữa học kỳ 2 môn Toán 11
Bài tập đầu tiên mà thầy muốn giới thiệu là một bài toán thực tế khá thú vị, thường gặp trong dạng bài ứng dụng hình học và phương trình bậc hai trong đề thi. Cụ thể như sau:
- Một kỹ sư thiết kế đường ray tàu lượn với mặt cắt là một đường cong hình parabol. Đoạn dốc lên L1 và đoạn dốc xuống L2 là các đoạn thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và -0,75. Để tàu chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L1 và L2 phải là các tiếp tuyến của cung parabol tại hai điểm chuyển tiếp P và Q.
- Gốc tọa độ đặt tại điểm P, phương trình của parabol được cho dưới dạng y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.
- Khoảng cách ngang giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q là 40 mét.
- Nhiệm vụ của các em là tìm độ chênh lệch độ cao giữa hai điểm P và Q.
Bài toán này giúp chúng ta luyện tập những kiến thức về tiếp tuyến parabol, hệ số góc của đường thẳng, và vận dụng để tìm khoảng cách chiều cao trong không gian tọa độ. Khi làm bài này, các em cần viết phương trình tiếp tuyến của parabol tại các điểm chuyển tiếp rồi dùng điều kiện hệ số góc của các đoạn thẳng, từ đó tìm hệ số a, b, c của parabol. Tiếp theo, sử dụng khoảng cách ngang giữa P và Q để xác định tọa độ điểm Q và tính chênh lệch độ cao (độ chênh lệch y). Đây là dạng bài vận dụng khá thường xuyên trong đề kiến thức thực tiễn.
Bài tập thứ hai thuộc phần ứng dụng toán tài chính, rất thiết thực với các em khi học về cấp số nhân và tăng trưởng theo tỷ lệ phần trăm:
- Công ty M thuê mặt bằng để sản xuất kinh doanh với số tiền thuê ban đầu là 850 triệu đồng, hợp đồng thuê kéo dài trong 10 năm.
- Mỗi năm giá thuê tăng 2% so với năm liền trước.
- Các em cần tính tiền thuê mặt bằng vào năm 2025 theo dự kiến, làm tròn đến hàng nghìn đồng.
Bài này giúp các em áp dụng kiến thức cấp số nhân để tính giá trị tăng trưởng theo phần trăm hằng năm. Qua đó, các em hiểu rõ hơn cách việc tư duy toán học liên quan đến thực tế tài chính, dự toán chi phí dài hạn trong kinh doanh. Khi giải, các em cần tính số tiền thuê năm thứ 6 (năm 2025), vì năm đầu được tính là năm 2020. Công thức tổng quát cho bài này sẽ là T_n = T_1 × (1 + r)^{n-1}, trong đó r là tỷ lệ tăng giá (2% = 0,02).
Bài tập cuối cùng là một bài hình học không gian khá đặc sắc liên quan đến hình lục giác đều và góc giữa các đường thẳng:
- Một ô che nắng có viền khung hình lục giác đều ABCDEF nằm song song với mặt bàn.
- Cạnh AB song song với cạnh bàn a.
- Các em cần tính số đo góc hợp bởi đường thẳng a lần lượt với các đường thẳng AF, AE, AD.
Bài này rất hữu ích để làm quen với kiến thức hình học phẳng và không gian, khả năng xác định góc giữa hai đường thẳng trong không gian. Các em nhớ rằng trong hình lục giác đều, các cạnh và các góc có đặc điểm riêng biệt về độ dài và số đo góc, giúp việc tính toán góc giữa các đường thẳng trở nên chính xác hơn. Việc lấy góc giữa đường thẳng a với các đường thẳng khác sẽ liên quan đến cách dựng hình, tính góc nội tiếp và sử dụng công thức lượng giác phù hợp.
Qua bộ đề thi này, các em sẽ được rèn luyện toàn diện các dạng bài tập quan trọng: từ lý thuyết parabol, kiến thức cấp số nhân trong ứng dụng thực tế, đến hình học không gian và tính góc. Thầy thấy đây là đề thi rất hợp lý để các em ôn tập, hệ thống kiến thức chuẩn bị cho kỳ kiểm tra giữa học kỳ 2 đạt kết quả tốt.
Chúc các em luyện tập hiệu quả và đạt thành tích cao!
