Đây là đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán dành cho học sinh lớp 12, do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên tổ chức năm học 2024–2025, kỳ thi diễn ra vào cuối tháng 8 năm 2024.
Bài toán tổ hợp và tổ chức không gian lưới ô vuông
Trong bài toán đầu tiên, người học được đưa vào một lưới ô vuông có kích thước 2024 x 2024. Trên lưới này xuất hiện hai loại đối tượng được gọi là rắn đỏ và rắn lục, với đặc điểm như sau:
- Rắn đỏ chiếm một dãy ô vuông liên tiếp theo chiều ngang có chiều dài k.
- Rắn lục chiếm một dãy ô vuông liên tiếp theo chiều dọc có chiều dài k.
- Giá trị k là số nguyên dương không lớn hơn 2024.
Các điều kiện áp dụng cho lưới ô vuông gồm:
- Không có ô vuông nào bị chiếm giữ bởi hơn một con rắn.
- Mỗi ô vuông nằm ngay bên trái hoặc bên phải một con rắn đỏ nhất định phải bị chiếm giữ bởi một con rắn lục.
- Tương tự, mỗi ô vuông nằm ngay trên hoặc dưới một con rắn lục phải bị chiếm giữ bởi một con rắn đỏ.
Người học được yêu cầu chứng minh sự tồn tại của cách sắp xếp các con rắn trên lưới sao cho tổng bình phương chiều dài các con rắn đạt giá trị đặc biệt, đồng thời tìm giá trị nhỏ nhất của tổng này.
Bài hình học phẳng về tam giác và đường tròn
Bài thứ hai tập trung vào hình học phẳng với tam giác nội tiếp trong đường tròn. Các điểm H, N, D, E, F, Ha, Hb, Hc được định nghĩa đặc biệt liên quan đến trực tâm, trung điểm, hình chiếu vuông góc, và đối xứng trong tam giác.
- Bài tập yêu cầu chứng minh một số điểm đặc biệt (P, Q, H) thẳng hàng, đồng thời đường thẳng này vuông góc với một đoạn thẳng xác định (AN).
- Tiếp theo, bài toán khai thác các tứ giác cùng đường tròn ngoại tiếp và chứng minh tính chất đẳng phương của các tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác liên quan.
Như vậy, đề thi bao gồm các bài toán nâng cao giúp học sinh phát triển khả năng tư duy và kỹ năng giải bài tập toán học ở mức độ phức tạp, phù hợp luyện thi học sinh giỏi cấp quốc gia.
