Đây là đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán lớp 11 năm học 2023-2024 của Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên. Đề thi gồm nhiều câu hỏi với đa dạng chủ đề Toán học, phù hợp để các em học sinh nâng cao kỹ năng và tích lũy kinh nghiệm giải đề.
Bài 1 (5 điểm)
- a. Giải phương trình lượng giác: 2sin^2 5x - 2sin x = 1.
- b. Cho cấp số nhân ( (u_n) ) với số hạng đầu ( u_1 = frac{1}{3} ) và công bội ( q in {2, 1} ). Tính giá trị của biểu thức ( S = 11u_{87} - 2u_3 + 3q ) khi biểu thức ( u_1 + u_2 + u_3 ) đạt giá trị lớn nhất.
Bài 2 (4 điểm)
- a. Tính giới hạn sau: ( lim_{x to -infty} frac{3x^2 - 2x + 3}{2x^2 + 8x} ).
- b. Giải phương trình phức tạp: ( frac{x^2 - 4}{x^3 + 7} + frac{x^2 + 6}{3x - 9} = 2024.)
Bài 3 (2 điểm)
Cho tập hợp ( A = {1, 2, 3, 4, 5} ). Gọi ( B ) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất ba chữ số, trong đó các chữ số đều khác nhau và thuộc tập hợp ( A ). Lấy ngẫu nhiên một số từ tập ( B ). Hãy tính xác suất để tổng các chữ số của số được chọn bằng 10.
Bài 4 (2 điểm)
Cho tam giác ( ABC ) với đỉnh ( A(1; 2) ), đường trung tuyến ( BM ) có phương trình ( 2x + y + 1 = 0 ), và đường phân giác trong ( CD ) có phương trình ( x - y + 1 = 0 ). Viết phương trình đường thẳng ( BC ).
Bài 5 (2 điểm)
Một câu lạc bộ có 41 thành viên. Mỗi thành viên quen biết ít nhất 21 người khác, với quan hệ quen biết được xem là hai chiều (nếu A quen B thì B cũng quen A).
- a. Chứng minh tồn tại một bộ ba thành viên mà mỗi người đều quen nhau.
- b. Chứng minh rằng phải có ít nhất một thành viên có số người quen là số chẵn.
- c. Xác định xem có thể có trường hợp ba thành viên bất kỳ trong câu lạc bộ cùng không quá 5 người quen chung hay không?
Thầy/cô thấy bài này rất hữu ích để các em làm quen với những câu hỏi vận dụng kiến thức tổ hợp, hình học tọa độ, đại số và các vấn đề liên quan đến quan hệ xã hội trong toán học. Các bài tập đều có mức độ thử thách phù hợp để các bạn học sinh phát triển tư duy và kỹ năng giải bài tập nâng cao.
