Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 11 của trường THPT Tiên Lãng, thành phố Hải Phòng năm học 2023-2024, đề thi gồm 7 câu hỏi trên 2 trang, thời gian làm bài kéo dài 150 phút. Đề thi được thiết kế nhằm kiểm tra sâu rộng kiến thức và kỹ năng giải toán nâng cao của các em học sinh lớp 11. Dưới đây là một số câu trích dẫn nổi bật cùng hướng dẫn cụ thể để các em cùng ôn luyện hiệu quả.
Câu 1: Hàm số và giao điểm với đường thẳng
Cho hàm số ( y = frac{3x+2}{x+1} ) có đồ thị là đường cong ( C ). Xét đường thẳng ( d: y = frac{1}{2}x + m ). Yêu cầu chứng minh rằng đường thẳng ( d ) luôn cắt đồ thị ( C ) tại hai điểm phân biệt ( A, B ), đồng thời tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng ( AB ).
Học sinh cần để ý cách chứng minh rằng phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số luôn có hai nghiệm phân biệt, tức là phương trình bậc hai có biệt thức dương. Việc tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn ( AB ) đòi hỏi vận dụng kiến thức về khoảng cách giữa hai nghiệm của phương trình cùng phương pháp khảo sát hàm số liên quan.
Câu 2: Bất phương trình logarit và số nguyên
Phần một bài toán yêu cầu tính giá trị biểu thức
[ x = log_a b + log_b a, quad y = log_b c + log_c b, quad z = log_c a + log_a c ] với ( a, b, c > 1 ). Cần tính ( x^2 + y^2 + z^2 - xyz ).
Phần hai đề bài hỏi số bộ ((x,y)) nguyên thỏa mãn một bất phương trình phức tạp với điều kiện ( 1 leq x,y leq 2023 ). Đây là dạng bài quen thuộc trong phần toán nâng cao của chương trình lớp 11, giúp học sinh phát triển kỹ năng biến đổi và đánh giá bất phương trình có chứa logarit cũng như làm quen với giới hạn trên dưới của nghiệm.
Câu 3: Phương trình lượng giác và hệ phương trình
- Giải phương trình:
[ (2 cos^2 x - 1) sin 2x = 3 cos^3 x + cos 2x - frac{1}{2} sin x. ] - Giải hệ phương trình:
[ begin{cases} 3x^2 + 3x y = 4 2x^2 + 6y = 1 \ 7x + 4y = 1 end{cases} ]
Đây là các câu tập trung kiểm tra kỹ năng giải phương trình lượng giác bằng các phép biến đổi đa thức lượng giác và hệ phương trình bậc hai, bậc ba với hai ẩn. Việc giải chính xác sẽ giúp học sinh nâng cao khả năng tư duy logic và vận dụng kiến thức tổng hợp.
Bài toán thực tế điển hình:
Bài toán xác suất: Trong một hộp kín có 2024 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 2024, lấy ngẫu nhiên ba tấm thẻ. Tính xác suất sao cho ba số trên ba tấm thẻ lập thành một cấp số cộng.
Bài toán này giúp học sinh luyện tư duy phân tích dãy số và vận dụng công thức tính xác suất, đồng thời giúp làm quen với các bài toán tổng hợp trong phần xác suất tổ hợp.
Bài toán hình học không gian tọa độ:
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ( Oxy ), cho hình vuông ( ABCD ) tâm ( I ). Gọi ( M, N, J ) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng ( AI, CD, BN ). Biết phương trình đường thẳng ( MJ ) là ( 2x - 7y + 56 = 0 ) và đỉnh ( C ) có hoành độ lớn hơn 3. Yêu cầu tìm tọa độ đỉnh ( C ) của hình vuông.
Bài toán này giúp học sinh thực hành vận dụng định nghĩa hình vuông, tính tọa độ trung điểm, cũng như hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa các điểm trong hình học tọa độ. Lưu ý học sinh cần nắm chắc kiến thức về tọa độ các điểm, phương trình đường thẳng và các tính chất của hình vuông trong mặt phẳng.
