Chào các em học sinh và các thầy cô giáo, hôm nay thầy/cô xin giới thiệu với các em đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh Phú Thọ năm học 2023 - 2024. Đây là đề thi có 6 trang, thời gian làm bài 180 phút, gồm 40% phần tự luận với 4 câu hỏi tổng điểm 8,0 và 60% phần trắc nghiệm với 40 câu, tổng điểm 12. Đề thi đi kèm với đáp án và hướng dẫn chấm điểm rất chi tiết, rất phù hợp để các em luyện tập nâng cao khả năng giải toán và làm quen với cấu trúc đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh.
Những câu hỏi tiêu biểu trong đề thi
- Bài toán hình học không gian: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 4, tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với SA. Yêu cầu tính thể tích khối chóp S.BDM. Đây là dạng bài hay gặp trong các đề thi chuyên về hình học không gian, các em chú ý phân tích kỹ các quan hệ và áp dụng công thức thể tích phù hợp.
- Bài toán xác suất: Hai bạn An và Bình hẹn gặp nhau tại thư viện trong khoảng thời gian từ 9 giờ đến 10 giờ. Người đến trước sẽ đợi người kia không quá 15 phút, nếu không gặp sẽ rời đi. Nhiệm vụ của chúng ta là tính xác suất để hai bạn gặp nhau theo căn cứ thời gian ngẫu nhiên đến nơi. Bài này rất hay trong phần xác suất và thống kê, đòi hỏi các em phải nắm vững cách tính khoảng thời gian và xác suất trong hình học xác suất.
- Bài toán hình học mặt phẳng cắt hình nón: Cắt hình nón đỉnh I bởi một mặt phẳng đi qua trục, ta được tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng (asqrt{2}). Gọi BC là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (IBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 60 độ. Yêu cầu tính diện tích tam giác IBC. Đây là dạng bài ít gặp nhưng rất thú vị, kết hợp kiến thức hình học không gian và lượng giác.
Một số câu hỏi minh họa từ đề thi
Các em để ý nhé, đề có các câu tự luận rất chi tiết với mức điểm tương xứng để giúp các em rèn luyện khả năng phân tích và vận dụng lý thuyết.
- Câu 1 (3,0 điểm):
- Tìm tất cả các giá trị của tham số (m) để đồ thị hàm số (y = 3x^2 + 2x^3 + m x - 3 + m) có hai điểm cực trị sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị tạo với hai trục tọa độ một tam giác cân.
- Cho (a, b, c > 0) thỏa mãn (a^2 + b^2 + c^2 = 5ab + 2ac - 2bc). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (P = frac{a^3 + b^3 + c^3 + 48}{10(a + b + c)}).
- Câu 2 (1,0 điểm): Cho hàm số (f(x) = frac{log(x^2 + 2x - 1)}{2x + 1}). Tìm tất cả giá trị nguyên của tham số (m) để phương trình (f(x + 1) + 3x^2 + 4.5x + 10 = 5 f(x) - m) có hai nghiệm dương phân biệt.
- Câu 3 (3,0 điểm): Cho hình lăng trụ tam giác (ABC A' B' C') với tam giác (ABC) vuông cân tại (A), cạnh (AB = a sqrt{2}), các đoạn thẳng (AA' = BB' = CC'). Đường thẳng (B A') tạo với mặt phẳng ... (câu chưa đầy đủ do phần còn lại của tài liệu chưa được cung cấp).
Qua đề thi này, các em có thể luyện tập rất nhiều dạng toán quan trọng như giải phương trình, khảo sát hàm số, bài toán hình học không gian phức tạp, các bài toán xác suất thực tế và các dạng bài tập nâng cao khác. Thầy/cô khuyên các em nên làm kỹ từng câu, lưu ý phần vận dụng yêu cầu tư duy sâu rộng để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi.
