Chào các bạn học sinh và thầy cô, hôm nay thầy/cô gửi đến một đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán dành cho lớp 11 từ năm học 2023 - 2024 tại trường THPT Lương Ngọc Quyến, tỉnh Thái Nguyên. Đây là đề thi có nội dung khá toàn diện và thách thức, phù hợp để các bạn học sinh nâng cao kiến thức cũng như luyện tập kỹ năng giải toán mức độ nâng cao.
Câu 1 (6 điểm): Giải các phương trình sau
- a. Giải phương trình lượng giác: 3 cos^2 x - 2 sin^2 x - 2 cos x = 0. Đây là dạng phương trình mà các bạn cần vận dụng các công thức lượng giác cơ bản như biến đổi sin²x, cos²x thành biểu thức cos 2x để đơn giản hóa.
- b. Giải phương trình phức tạp hơn:
(cos x + 2) / (1 + sin x) + (sin x - 1) / (1 + tan x) = 0.
Các em cần lưu ý điều kiện xác định cũng như biết cách quy đồng, rút gọn các biểu thức chứa sin x, cos x, tan x hỗn hợp.
Câu 2 (2 điểm): Xác định giới hạn
Cho biết giới hạn sau tồn tại và có giá trị:
2lim_{x 1 -ffd} (4x^2 + ax + b) / (x - 1) = -.
Nhiệm vụ là tính giá trị biểu thức P = 3a^2 - 2b.
Đây là bài tập quen thuộc giúp các bạn ôn tập kiến thức về giới hạn hàm số và phương pháp thay đổi tham số để tìm giá trị biểu thức liên quan.
Câu 3 (4 điểm): Xác suất tổ hợp
Cho tập hợp S = {1, 2, 3, 39, 40} gồm 40 số tự nhiên từ 1 đến 40. Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc tập S.
Yêu cầu: Tính xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng.
Đây là bài toán kết hợp giữa tổ hợp và xác suất cơ bản mà các em cần nắm chắc, chú ý cách đếm số bộ ba thỏa mãn điều kiện cấp số cộng để áp dụng công thức tính xác suất.
Câu 4 (3 điểm): Dãy số đặc biệt
Cho dãy số (u_n) được xác định như sau:
- u_1 = 1/3,
- u_(n+1) = (2n / (3n + 3)) * u_n, với n thuộc N.
Yêu cầu: Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
Bài này giúp các bạn luyện tập kỹ năng tìm công thức tổng quát của dãy số bởi quy luật đệ quy, rất hay gặp trong các đề nâng cao.
Câu 5 (5 điểm): Hình học không gian và các chứng minh
Cho tứ diện ABCD:
- Gọi E, F, G lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ACD, ABD.
a) Chứng minh mặt phẳng (EFG) song song với mặt phẳng (BCD).
b) Tính tỉ số diện tích tam giác EFG theo diện tích tam giác BCD.
c) Gọi M là điểm nằm trong miền của tam giác BCD. Qua M kẻ một đường thẳng d song song với AB.
- Xác định giao điểm B' của đường thẳng d với mặt phẳng (ACD).
- Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD, cắt các mặt phẳng (ABD) và (ABC) tại các điểm C' và D'.
Chứng minh rằng tỉ lệ đoạn thẳng MB' / MC' / MD' = AB / AC / AD.
Bài hình học này rất hữu ích để các bạn rèn luyện kỹ năng sử dụng tính chất song song, trọng tâm cũng như hiểu sâu về các định lý trong không gian.
Với đề thi học sinh giỏi môn Toán 11 này, các em để ý luyện tập kỹ từng câu, đặc biệt câu khó như câu hình học không gian và câu phương trình lượng giác nhé. Đây là các dạng bài thường xuất hiện trong các bài thi nâng cao và có giá trị thực tiễn rất lớn trong việc phát triển tư duy toán học của các em.
