Kính gửi thầy cô và các em học sinh lớp 12, hôm nay thầy xin gửi đến các bạn đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh Quảng Nam năm học 2023-2024, đợt 1. Đây là đề thi chính thức, thời gian làm bài 180 phút, diễn ra ngày 29/9/2023. Đề này rất hay, bám sát chương trình và giúp các em rèn luyện khả năng giải toán nâng cao cũng như tư duy logic.
Câu 1 (3 điểm): Giải hệ phương trình
[left{begin{array}{l} sqrt{x} - sqrt{y + 1} + x^{2} - y^{2} + x - 3y - 2 = 0 \ 27x^{2} y + 27x^{2} - 54xy - 76x - 20y = 22 + sqrt[3]{80x + y - 7} end{array}right. quad (x,y in mathbb{R})]
Đây là hệ phương trình phức tạp, đòi hỏi các em phải phân tích kỹ biểu thức và áp dụng linh hoạt cách biến đổi căn và đa thức. Thường các bài biểu thức chứa căn bậc hai và căn bậc ba như thế này yêu cầu ta phải đặt ẩn phụ hoặc phân tích điều kiện xác định rõ ràng.
Câu 2 (2 điểm): Cho dãy số ((u_n)) xác định:
[left{begin{array}{l} u_1 > 0 \ u_{n+1} = frac{1 + u_n^{2}}{2 u_n^{2}}, quad forall n in mathbb{N}^* end{array}right.]
Yêu cầu chứng minh ((u_n)) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Đây là bài tập rất cần thiết để các em luyện tập về dãy số, giới hạn, đặc biệt là dãy số có quy luật phức tạp dạng truy hồi. Việc chứng minh giới hạn có thể dùng cách xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy, hoặc dùng định nghĩa giới hạn gần đây để tìm đúng giới hạn.
Câu 3 (5 điểm): Bài toán hình học về tam giác và các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp
Cho tam giác nhọn (ABC) với cạnh (AB < AC). Đường tròn ((O)) tiếp xúc lần lượt với ba cạnh (AB, BC, CA) tại ba điểm (M, N, K) tương ứng. Gọi (S, R) là giao điểm của đường phân giác ngoài góc (A) với hai đường thẳng (KN, MN). đặt (I) là giao điểm của hai đường thẳng (MS) và (KR). Đường thẳng (AN) cắt đường tròn ((O)) một lần nữa tại (J).
- Phần a) Chứng minh điểm (I) thuộc đường tròn ((O)) và tỉ lệ (frac{sin widehat{MKN}}{sin widehat{KMN}}=frac{KI}{KJ}).
- Phần b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác (AMK) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC) tại điểm thứ hai là (D). Đường (OD) cắt (MK) tại (E). Gọi ((T)) là đường tròn qua (D) và tiếp xúc với (BC) tại (N). Hãy chứng minh:
- ((T)) tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác (ABC).
- Đường thẳng (EN) là đường phân giác của góc (BEC).
Đây là bài hình học tổng hợp rất sâu sắc, kết hợp nhiều kiến thức về đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp, các góc, tỉ lệ cạnh và tính chất giao điểm. Thầy/cô khuyên các em nên phân tích kỹ từng bước, vẽ hình cẩn thận để hình dung rõ các điểm và đường.
Câu 4 (2 điểm): Bài toán tô màu các đỉnh đa giác đều
Xét đa giác đều ((T)) có 12 đỉnh. Các em tô màu tất cả các đỉnh bằng hai màu khác nhau sao cho mỗi đỉnh được tô một màu.
- Phần a) Hỏi có bao nhiêu cách tô màu để đảm bảo không tồn tại tam giác đều nào có cả ba đỉnh cùng màu?
- Phần b) Hỏi có bao nhiêu cách tô màu để có ít nhất một đa giác đều có tất cả các đỉnh cùng màu?
Bài toán này thuộc tổ hợp toán học, đòi hỏi tư duy tổ hợp kết hợp kiến thức hình học về đa giác đều và tính đối xứng. Các em hãy dùng phương pháp đếm, phân tích các trường hợp xảy ra để tìm lời giải chính xác.
Thầy/cô mong rằng đề thi này sẽ giúp các em củng cố kiến thức, luyện tập khả năng tư duy, và tự tin hơn trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi. Bài tập rất sát với thực tế đề thi cấp tỉnh nên các em nhớ luyện tập thường xuyên để giải tốt hơn nhé. Chúc các em học tập hiệu quả!
