Chào các em học sinh và quý thầy cô, hôm nay thầy muốn chia sẻ với các em bộ đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán dành cho học sinh lớp 12 của tỉnh Long An trong năm học 2023 – 2024. Kỳ thi này đã diễn ra ngày 31 tháng 3 năm 2024, gồm 5 câu hỏi trong thời gian làm bài 180 phút. Đề thi không cho phép sử dụng máy tính cầm tay, nên các em cần làm quen với việc giải bài nhanh và chính xác bằng phương pháp tay.
Câu 1 (5 điểm)
- Phần a: Giải phương trình trên tập số thực:
(2x^2 + 3x - 1 = 2x + 10 - 3x^2 + 6)
- Phần b: Giải hệ phương trình:
(begin{cases} 12 + 3x y - xy = x - y \ 6 + 2x y = x + xy - y end{cases})
Đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong đề thi học sinh giỏi, các em cần thành thạo kỹ năng đưa về dạng biểu thức đơn giản để giải hệ phương trình.
Câu 2 (5 điểm)
- Phần a: Cho tam giác (ABC) với các cạnh (BC = a), (CA = b), (AB = c), biết các cạnh đều bằng nhau và góc giữa thích hợp thỏa mãn (cos B = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = frac{2}{1} - 1 + ...). Các em phải tính số đo góc (B).
- Phần b: Bài hình học trong mặt phẳng tọa độ rất thường gặp. Cho hình thang vuông (ABCD) vuông góc tại (A) và (D) với ( CD = AD = AB = 2 ). Điểm (M(2;4)) thuộc cạnh (AB) sao cho (AM = 3). Điểm (N) thuộc cạnh (BC), tam giác (DMN) cân tại (M). Phương trình đường thẳng (MN) là (2x + 8y = 0). Nhiệm vụ của các em là tìm tọa độ điểm (B).
Đây là dạng bài thực hành kỹ năng vận dụng tọa độ vào hình học phẳng để tìm tọa độ điểm, rất hữu ích khi đi thi.
Câu 3 (5 điểm)
Cho tập hợp (X = {1,2,3,4,5,6,7,8,9 }). Gọi (S) là tập các số nguyên dương có sáu chữ số, mỗi số có sáu chữ số tạo thành tập hợp chỉ chứa đúng ba phần tử của (X). Nhiệm vụ của các em là tìm số phần tử của tập (S).
Bài toán kết hợp kiến thức về tập hợp và tổ hợp, đòi hỏi các em phải nắm chắc cách phân tích tập hợp và tính số cách sắp xếp.
Câu 4 (5 điểm)
Có hai tàu (A) và (B) cùng nằm phía trên một đường bờ biển thẳng. Tàu (A) cách bờ biển 3 hải lí, tàu (B) cách bờ biển 6 hải lí, khoảng cách giữa hai tàu là 5 hải lí. Muốn xây dựng một trạm nhiên liệu trên bờ biển sao cho tổng khoảng cách từ trạm đến tàu (A) và (B) là ngắn nhất, hỏi trạm nhiên liệu phải cách tàu (A) bao nhiêu hải lí?
Bài toán này sử dụng kiến thức hình học không gian và khoảng cách trong mặt phẳng, rất thực tế khi ứng dụng.
Thầy thấy bài tập này không chỉ giúp các em ôn luyện kĩ năng giải toán, mà còn phát triển khả năng tư duy hình học và vận dụng kiến thức Toán vào thực tiễn. Các em nhớ luyện tập nhiều để nâng cao kỹ năng nhé!
