Đề thi học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2023-2024 tại trường THPT Ngô Gia Tự, Phú Yên, gồm 6 câu hỏi trọng tâm giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ năng giải toán nâng cao và tư duy logic. Thời gian làm bài là 150 phút, đề bao gồm các dạng bài tập đa dạng như phương trình lượng giác, phương trình chứa căn thức, hệ phương trình, hình học tọa độ, chứng minh bất đẳng thức và toán tổ hợp đại số.
Câu 1
Bài tập phương trình lượng giác yêu cầu giải phương trình (sin 2x + 3 sin 6x = - sin 10x), ngoài ra cho dãy số ((u_n)) xác định bởi hệ thức đại số. Học sinh cần tìm giới hạn biểu thức tổ hợp các phần tử trong dãy.
Câu 2
- Phương trình có chứa căn thức bậc hai, đòi hỏi kiến thức về điều kiện xác định và kỹ năng biến đổi biểu thức để tìm nghiệm duy nhất.
- Giải hệ phương trình dạng phương trình chứa căn và đa thức, đòi hỏi kỹ năng phân tích phương trình và vận dụng các bất đẳng thức phù hợp.
Câu 3
Bài toán hình học tam giác với kích thước và đường trung tuyến, yêu cầu chứng minh bất đẳng thức liên quan đến diện tích, giúp học sinh nâng cao kỹ năng hình học và đại số kết hợp.
Câu 4
Bài tập hình học tọa độ với ba đường thẳng chứa đường cao của tam giác cho trước phương trình, yêu cầu tìm tọa độ đỉnh tam giác và điều kiện về độ dài đường cao, giúp củng cố kiến thức về mặt phẳng tọa độ và vectơ.
Câu 5
Chứng minh tính chất hình học của hình bình hành, với các điểm trung tuyến và liên hệ vuông góc, giúp học sinh thực hành kỹ năng chứng minh hình học bằng vectơ hoặc công thức trung điểm.
Câu 6
Bài toán bất đẳng thức với ba số thực dương thỏa mãn phương trình liên quan, đòi hỏi vận dụng bất đẳng thức Cauchy và khả năng biến đổi đại số để tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức phức tạp.
Đáp án chi tiết từng câu giúp học sinh hiểu được cách tiếp cận bài toán, các bước giải hợp lý, từ đó cải thiện kỹ năng giải toán, phát triển tư duy logic và vận dụng kiến thức hiệu quả trong học tập.
