Thầy cô và các em học sinh thân mến, trong bài viết này chúng ta sẽ cùng nhau ôn luyện đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán lớp 11 năm học 2023-2024 của trường THPT Vĩnh Lộc, tỉnh Thanh Hóa. Đây là đề thi lần 1 được tổ chức vào ngày 7 tháng 4 năm 2024 với thời gian làm bài 90 phút.
Phần I – 24 câu trắc nghiệm (mỗi câu 0,5 điểm)
- Câu 1. Xét hàm số có bảng biến thiên cho sẵn. Hãy xác định phát biểu đúng về tính đồng biến hay nghịch biến của hàm trên các khoảng xác định.
- Câu 2. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1;3;5). Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng Oxz.
- Câu 3. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được ghi nhận ngẫu nhiên, từ đó xác định số liệu phân bố tần số.
Tiếp theo, đề kiểm tra một số bài toán vận dụng thực tế rất quen thuộc. Các em chú ý ví dụ dưới đây nhé:
Bài toán tăng trưởng quần thể vi khuẩn
Trong môi trường nuôi cấy ổn định, số lượng vi khuẩn của hai loài A và B tăng theo quy luật sau: loài A sau mỗi 5 ngày thì số lượng tăng gấp đôi, còn loài B sau mỗi 10 ngày thì số lượng tăng gấp ba. Ban đầu có 50 con vi khuẩn A và 100 con vi khuẩn B. Yêu cầu xác định thời gian (số ngày) để tổng số lượng vi khuẩn hai loài đạt 20.900 con, trong điều kiện tốc độ tăng trưởng của mỗi loài ở mọi thời điểm là không đổi.
Đây là dạng bài toán áp dụng kiến thức hàm mũ và phương trình mũ rất thường gặp. Chúng ta gọi t là số ngày cần tìm, sau đó mô hình bài toán bằng phương trình:
- Số lượng vi khuẩn A sau t ngày: 50 * 2^{frac{t}{5}}
- Số lượng vi khuẩn B sau t ngày: 100 * 3^{frac{t}{10}}
- Tổng số vi khuẩn: 50 * 2^{frac{t}{5}} + 100 * 3^{frac{t}{10}} = 20900
Phần còn lại là giải phương trình mũ để tìm t phù hợp.
Bài toán hình học trong không gian
Xét hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ( Delta ) đi qua điểm A(0;0;1) và vuông góc với mặt phẳng Ozx. Cho điểm B(0;4;0), điểm C cách đều đường thẳng ( Delta ) và trục Ox. Đề thi có nhiều câu hỏi dạng đúng sai kiểm tra các phép toán vectơ, phương trình mặt phẳng và khoảng cách trong không gian:
- Kiểm tra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Oyz.
- Phương trình mặt phẳng trung trực đoạn OA.
- Kiểm tra điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực đoạn OA không.
- Tính khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm B và C.
Bài toán này giúp các em luyện kỹ năng nhận dạng và xử lý các đặc điểm hình học trong không gian 3 chiều cũng như vận dụng kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng và các khoảng cách liên quan.
Bài toán về thống kê mô tả
Phần cuối đề thi đưa ra bảng thống kê thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh. Các câu hỏi hướng tới kiểm tra hiểu biết về các đặc trưng thống kê như:
- Mốt của mẫu số liệu là bao nhiêu.
- Cỡ mẫu số liệu xét là bao nhiêu.
- Giá trị số trung vị của mẫu số liệu khi ghép nhóm.
- Giá trị tứ phân vị thứ nhất của mẫu.
Các em sẽ quen dần với dạng bài tập thống kê mô tả căn bản này, rất hữu ích trong các kỳ thi học kỳ hoặc kiểm tra định kỳ.
Như vậy, đề thi lần này bao gồm nhiều dạng bài đa dạng thuộc các lĩnh vực hàm số, hình học không gian, phương trình mũ và thống kê. Thầy/cô khuyến khích các em ôn tập đều các phần, luyện giải đề để nắm chắc kiến thức và tăng kỹ năng tư duy, xử lý linh hoạt.
Cách làm bài và lời khuyên
- Đọc kỹ đề, phân tích từng câu hỏi theo nhóm kiến thức.
- Tính toán cẩn thận, từng bước, đặc biệt với các bài phương trình mũ và hình học không gian.
- Luôn kiểm tra kết quả phù hợp với điều kiện bài toán.
- Đối với phần thống kê, nên chú ý xác định đúng các đại lượng mô tả, tránh nhầm lẫn về cỡ mẫu và các đại lượng trung tâm.
- Tham khảo lời giải chi tiết để rút kinh nghiệm và bổ sung kiến thức thiếu.
