Nhân dịp năm học mới 2023-2024, thầy muốn giới thiệu đến các bạn học sinh lớp 11 và đồng nghiệp một đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán được tổ chức tại trường THPT Anh Sơn 3, tỉnh Nghệ An. Đề thi gồm nhiều dạng bài tập hấp dẫn, có kèm đáp án và hướng dẫn chấm điểm, rất phù hợp để các em luyện tập nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
Phần trắc nghiệm – Thời gian làm bài 50 phút
- Câu 1: Cho hai giá trị tan a = 7tan b = 3. Yêu cầu tính giá trị tan(a+b) với các lựa chọn phương án A, B, C, D.
- Câu 2: Xét cấp số nhân (u_n) với u_1=3; u_2=3q. Các mệnh đề được đưa ra liên quan đến công thức tính u_5 = 27 hay 16, thí sinh cần lựa chọn mệnh đề đúng trong các phương án.
- Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, với SA ot (ABCD) và SA = 6 oot{3} a. Hỏi góc giữa đoạn thẳng SC và mặt phẳng đáy là bao nhiêu độ?
- Câu 4: Một bài toán thực tế liên quan đến việc khoan giếng nước, giá cả tăng dần theo chiều sâu, cần tính tổng số tiền phải trả khi khoan đến độ sâu 40m.
Vài bài toán tự luận tiêu biểu trong đề
Thầy muốn chia sẻ một số dạng bài nổi bật có trong đề để các em tham khảo nhé.
Bài toán vay vốn và tính nợ lãi kép:
Anh An nhập học đại học tháng 8 năm 2021. Từ tháng 9 năm 2021, cứ vào ngày mồng một hàng tháng, anh vay ngân hàng 3 triệu đồng với lãi suất cố định 0,6%/tháng. Lãi tháng trước được cộng vào số nợ để tính lãi tháng sau (lãi kép). Từ tháng 9 năm 2023, anh không vay thêm mà bắt đầu trả nợ, mỗi tháng trả 2 triệu đồng. Câu hỏi đặt ra là đến ngày anh ra trường (30/06/2025) anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền? (Làm tròn đến hàng nghìn đồng)
Đây là dạng bài hay xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, giúp các em làm quen với bài toán lãi kép nâng cao và áp dụng kiến thức về cấp số nhân, lãi suất và tính trả nợ.
Bài toán hình học không gian về lăng trụ đứng:
Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với cạnh AC bằng a√3. Biết đoạn BC hợp với mặt phẳng AA'C'C một góc 30°, và hợp với mặt phẳng đáy một góc sao cho sin góc này bằng 4/6. Gọi M và N lần lượt là trung điểm cạnh B'B' và cạnh AC. Yêu cầu tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.
Dạng bài này rất bổ ích cho các em luyện tập về tính góc trong không gian và khoảng cách giữa các đường thẳng trong hình học không gian - kỹ năng cơ bản nhưng thường gây khó khăn nếu chưa nắm chắc kiến thức.
Bài toán thực tế về chi phí khoan giếng:
Một gia đình cần khoan giếng lấy nước. Phía chủ thầu báo giá 80.000 đồng cho mét khoan đầu tiên, và kể từ mét khoan thứ 2 trở đi, giá mỗi mét tăng thêm 5.000 đồng so với mét khoan trước đó. Câu hỏi đặt ra là gia đình phải trả bao nhiêu tiền khi khoan đến độ sâu 40m?
Bài toán này giúp các em hiểu được cách tính tổng dãy số cộng từng phần tăng dần, vận dụng vào các bài toán thực hành trong cuộc sống.
