Hôm nay thầy cô và các em học sinh lớp 10 cùng nhau ôn tập với đề thi Olimpic môn Toán năm học 2023-2024 do cụm Thạch Thất và Quốc Oai tổ chức. Đề thi mang tính thử thách, rèn luyện kỹ năng giải toán nâng cao rất phù hợp để các em luyện tập và chuẩn bị cho các kỳ thi sắp tới.
Câu 1 (6 điểm)
a) Các em hãy lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = x^4 - 3x^3 + 2. Đây là bài tập giúp các em nắm vững cách khảo sát và biểu diễn đồ thị hàm số đa thức bậc cao.
b) Giải phương trình 3^(x+1) = 5 - 3^x. Chú ý vận dụng các phép biến đổi lôgarit và định nghĩa luỹ thừa để tìm nghiệm chính xác.
Câu 2 (3 điểm)
Cho bất phương trình 2m x^2 - (m+1) x + 2m - 3 2 0 (bất phương trình theo biến x, tham số m).
a) Giải bất phương trình khi m = 2.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm, giúp các em luyện kỹ năng xử lý tham số trong bất phương trình.
Câu 3 (3 điểm)
a) Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b, thỏa mãn hệ thức (1 + 60cos C)/(1 + 60cos C) = (1 - 60cos C)/(1 - 60cos C) (cụ thể hệ thức được cho trong đề). Hãy chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Đây là dạng bài tập tập trung vận dụng kiến thức lượng giác và tính chất tam giác cân.
b) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh AB = a, AC = a và góc BAC = 60^; trọng tâm là G. Hãy tính diện tích tam giác ABG. Bài này giúp các em rèn luyện kỹ năng vận dụng định nghĩa trọng tâm và công thức tính diện tích.
Câu 4 (6 điểm)
a) Cho tam giác ABC. Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = 5 BC. Một điểm E thỏa mãn điều kiện 4 EA + 2 EB + 3 EC = 0. Các em hãy vận dụng yêu cầu bài toán để giải quyết vấn đề liên quan đến hình học phẳng và vectơ.
Bài tập cuối cùng là một bài toán hình học tọa độ ứng dụng rất hay.
Bài Toán Hình Học Tọa Độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Biết trung điểm của cạnh BC là điểm N(1,2). Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ADN có phương trình 5x - y + 1 = 0. Hãy xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ của điểm A là dương.
Bài toán này không chỉ giúp các em ôn luyện kiến thức về hình học phẳng mà còn tập trung vận dụng kiến thức hình học tọa độ và vector. Thầy cô khuyên các em nên phân tích kỹ các điều kiện đã cho để tìm cách tiếp cận phù hợp nhất.
