Đề thi Olympic Toán lớp 10 gồm 5 bài tập lớn, tổng thời gian làm bài 150 phút, phù hợp để học sinh ôn luyện, nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán.
Bài I
Phần này giúp học sinh luyện tập về hàm số bậc hai, lập bảng biến thiên, chứng minh sự giao nhau của đường thẳng với đồ thị, và tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức liên quan hoành độ giao điểm. Ví dụ: hàm số y = x^2 - 4x + 5 với đồ thị (P), đường thẳng d: y = mx + 6, yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x_1 - x_2| với x_1, x_2 là nghiệm giao nhau.
Bài II
Bài tập gồm giải phương trình với các dạng phương trình có căn thức và điều kiện xác định. Đồng thời, bài toán thực tế liên quan đến tối ưu chi phí thuê xe của một công ty cho việc vận chuyển người và hàng hóa, ứng dụng hệ bất phương trình tuyến tính và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm mục tiêu.
Bài III
Về hình học, bài tập yêu cầu chứng minh các đẳng thức liên quan đến tam giác ABC với các cạnh a, b, c và đường cao h_a, cũng như điều kiện để tam giác cân, dùng định lí Cosin và bất đẳng thức Cosi.
Bài IV
Chủ đề là tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm tam giác và tính chất vectơ trong tam giác. Học sinh được yêu cầu chứng minh mối quan hệ vectơ giữa các điểm đặc biệt và tính giá trị cạnh c sao cho IG vuông góc IC.
Bài V
Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC với các điểm và đường thẳng chứa đường cao và đường phân giác, học sinh viết phương trình tổng quát các cạnh và tìm tọa độ các đỉnh dựa trên hệ phương trình và điều kiện song song, vuông góc.
Đề này rất phù hợp để học sinh luyện tập khả năng phân tích, suy luận, vận dụng kiến thức toán học lớp 10 trong các bài tập lý thuyết và thực tế.
