Đề thi tham khảo tuyển sinh Đại học Công an nhân dân năm 2024 môn Toán gồm 5 câu tự luận với tổng điểm 10 điểm, phù hợp ôn luyện kiến thức nâng cao chuẩn bị thi đại học. Đề tập trung vào các dạng toán quan trọng như khảo sát hàm số, số phức, tích phân, hình học không gian và xác suất thống kê.
Câu I (2 điểm)
Phần này yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc ba trên đoạn giới hạn và chứng minh tính chất tiếp xúc của đường thẳng với đồ thị hàm phân thức hữu tỉ. Hai bài tập này giúp học sinh kiểm tra kỹ năng khảo sát hàm số và giải bài toán đồ thị.
Câu II (2 điểm)
Gồm việc tìm số phức thỏa mãn một phương trình liên quan đến liên hợp và tìm nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ. Đây là dạng toán phổ biến trong chương trình số phức và giải tích.
Câu III (2 điểm)
Bài tập gồm hình học phẳng và hình học không gian: Viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng và viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng sao cho giao tuyến với mặt cầu là đường tròn bán kính nhỏ nhất. Đây là dạng toán không gian nâng cao, giúp học sinh luyện kỹ năng vận dụng kiến thức hình học và phương trình trong không gian.
Câu IV (2 điểm)
Bài toán tổ hợp xác suất chọn hai số từ tập hợp 20 số nguyên, tính xác suất tích hai số chia hết cho 6, và bài hình học không gian phân tích hình chóp với các góc và điều kiện cho trước, yêu cầu chứng minh và tính thể tích. Câu này giúp hệ thống kiến thức xác suất, hình học phẳng và không gian, rất có giá trị trong luyện đề thi.
Câu V (2 điểm)
Phần cuối gồm tích phân hàm lượng giác phức tạp và bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức với điều kiện liên quan đến logarit. Đây là dạng toán nâng cao giúp học sinh cải thiện kỹ năng giải tích và đại số.
Đề thi đưa ra các dạng bài phong phú, phù hợp để ôn tập tổng hợp kiến thức, giúp học sinh cải thiện khả năng giải quyết bài toán logic, phân tích hàm số, giải tích, hình học và xác suất. Ví dụ, câu I yêu cầu khảo sát hàm số y = x^3 - 6x^2 + 5 trên đoạn [-1;2], một bài tập căn bản nhưng quan trọng để nắm vững kiến thức hàm số bậc ba.
Ngoài ra, câu III yêu cầu viết phương trình mặt phẳng sao cho giao tuyến với mặt cầu là đường tròn bán kính nhỏ nhất, đây là một dạng toán không gian thường xuất hiện trong các đề thi đại học chuyên sâu.
