Bài thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh Bắc Kạn năm học 2025-2026 gồm 6 câu hỏi với thời gian làm bài 150 phút. Đề thi có tính phân hóa cao, giúp học sinh rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức đại số, phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức và hình học.
Câu 1 (1 điểm)
Cho biểu thức ( A = frac{1}{2 + x} + frac{1}{2 - x} cdot frac{x^2}{x + 1} ), với ( x > 0, x neq 4 ). Các em cần rút gọn biểu thức và tìm các giá trị nguyên của ( x ) sao cho ( A ) nhận giá trị nguyên. Đây là dạng bài tập về rút gọn biểu thức phân thức giúp nâng cao kỹ năng biến đổi đại số và tính toán chính xác.
Câu 2 (2 điểm)
Phần (a) yêu cầu giải phương trình ( 12x^2 + 5x + 3 = 5x^2 + 3 ), trong khi phần (b) là giải hệ phương trình ( begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \ 2y = x end{cases} ). Ở câu này, học sinh được luyện tập giải phương trình bậc hai và giải hệ, biết vận dụng kiến thức về tính chất phương trình và quan hệ giữa các nghiệm.
Câu 3 (2 điểm)
Câu hỏi gồm hai phần với phương trình ( x^2 + 6x - m^2 + 6m = 0 ) có tham số ( m ). Học sinh làm bài bằng cách xác định các giá trị nguyên của ( m ) để phương trình có hai nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện ( x_1x_2 > 5 ), cùng với việc giải tiếp điều kiện nghiệm thỏa mãn phương trình liên quan đến các nghiệm. Đây là bài tập điển hình kiểm tra kiến thức phương trình tham số và sử dụng hệ thức Vi-ét.
Câu 4 (1 điểm)
Yêu cầu tìm tất cả cặp số nguyên ( (x, y) ) thỏa mãn một phương trình đại số phức tạp có dạng ( x^2 - xy + 3x - 2y^2 - 3y - 3 = 0 ). Bài toán này kiểm tra kỹ năng phân tích đa thức và tìm nghiệm nguyên cho phương trình nhiều ẩn.
Câu 5 (3 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A với ( AB < AC ), có đường tròn nội tiếp tâm I tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F. Giao điểm của AI và DE là S. Phần bài yêu cầu chứng minh: tứ giác IECD nội tiếp, điểm K, O (trung điểm AB, BC) cùng S thẳng hàng, cũng như các tính chất hình học liên quan đến các đường trung trực, đường cao và tỉ lệ đoạn thẳng trong tam giác. Đây là phần hình học phức tạp giúp học sinh phát triển tư duy chứng minh hình học đúng chuẩn chương trình.
Câu 6 (1 điểm)
Câu cuối cùng là chứng minh bất đẳng thức với điều kiện ( x, y > 0 ) và ( x + y < 1 ) liên quan đến các biểu thức phân đoạn. Đây là bài tập giúp luyện tập vận dụng bất đẳng thức AM-GM, cải thiện khả năng lập luận và áp dụng bất đẳng thức trong toán học.
Đề thi cung cấp một cơ hội ôn tập toàn diện từ kiến thức đại số đến hình học, thích hợp để học sinh luyện giải đề chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Toán, đồng thời phát triển kỹ năng giải bài tập phức tạp và tư duy toán học logic.
