Trong chương trình Toán lớp 12, chuyên đề hình học không gian cực trị rất quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi đại học cũng như các kỳ kiểm tra nâng cao. Thầy cô và các bạn học sinh hãy cùng khám phá một số bài toán tiêu biểu về cực trị trong không gian với lời giải chi tiết để hiểu rõ hơn về cách tiếp cận và xử lý các dạng bài này.
Câu 1
Một khối gỗ hình hộp chữ nhật được cho biết có kích thước thoả mãn:
- Tổng chiều dài và chiều rộng là 12 cm;
- Tổng chiều rộng và chiều cao là 24 cm.
Bài toán yêu cầu tìm thể tích lớn nhất có thể đạt được của khối hộp này.
Câu hỏi cực trị về thể tích này được giải bằng cách biểu diễn thể tích theo một ẩn số rồi dùng đạo hàm hoặc các phương pháp cực trị hình học để tìm giá trị lớn nhất. Đây là dạng bài cơ bản nhưng rất hữu ích trong việc rèn luyện tư duy hình học không gian.
Câu 2
Trong không gian cho bốn mặt cầu có bán kính lần lượt là 2, 3, 3, và 2, đôi một tiếp xúc nhau. Bài toán yêu cầu xác định bán kính của một mặt cầu nhỏ tiếp xúc ngoài với cả bốn mặt cầu đã cho.
Dạng bài này đòi hỏi học sinh vận dụng kiến thức về tiếp xúc của các mặt cầu và quan hệ giữa các bán kính, cũng như kỹ năng xử lý không gian ba chiều.
Câu 3
Xét hình chóp SABC thỏa mãn:
- SA vuông góc với mặt phẳng ABC;
- SB = 2a;
- Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau;
- Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) bằng 45°;
- Góc giữa SB và mặt đáy là góc α với 0° < α < 90°.
Bài yêu cầu xác định giá trị α để thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn nhất.
Đây là bài toán yêu cầu sự phối hợp giữa lý thuyết hình học không gian và kỹ thuật giải cực trị, đặc biệt là sử dụng góc và quan hệ vuông góc giữa các mặt phẳng. Rất đáng để luyện tập.
Câu 4
Xét hình chóp SABC có các điều kiện giống câu 3:
- SA vuông góc với mặt phẳng ABC;
- SB = 2a;
- Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau;
- Góc giữa SC và (SAB) bằng 45°;
- Góc giữa SB và mặt đáy là 90°.
Bài toán yêu cầu xác định điều kiện để thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn nhất.
Câu này giúp các em củng cố thêm kiến thức về thể tích khối chóp cùng các mối quan hệ không gian phức tạp hơn, rất hữu ích cho việc luyện thi.
Câu 5
Xét hình chóp SABCD có:
- Đáy ABCD là hình thang cân với đáy AB nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R;
- Đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, đồng thời I là hình chiếu vuông góc của điểm S lên đáy ABCD;
- Tam giác SAC vuông tại S.
Bài toán yêu cầu tìm thể tích lớn nhất của khối chóp theo R.
Đây là dạng bài tập khó, đòi hỏi vận dụng kết hợp kiến thức hình học phẳng và hình học không gian, kỹ năng xử lý cực trị qua biến số liên quan đến bán kính đường tròn.
