Nội dung tài liệu tập trung vào hai chương chính trong hình học lớp 11 học kỳ 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng, cùng với kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, đặc biệt là các quan hệ song song.
Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với các phép biến hình cơ bản và các tính chất quan trọng giúp nhận biết các hình học đồng dạng hoặc bằng nhau.
§1. Phép biến hình
Phép biến hình là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trên mặt phẳng một điểm xác định duy nhất M', được gọi là ảnh của M qua phép biến hình. Phép đồng nhất là phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó.
§2. Phép tịnh tiến và phép dời hình
Phép tịnh tiến theo vectơ ( vec{v} = (a;b) ) biến điểm ( M(x;y) ) thành ( M'(x';y') ) sao cho ( x' = x + a, y' = y + b ). Phép tịnh tiến có các tính chất:
- Bảo toàn khoảng cách và các tính chất hình học: thẳng hàng, song song, độ dài, góc,…
- Biến một hình thành hình bằng nó.
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa mọi cặp điểm. Các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm, quay đều là những phép dời hình. Phép dời hình biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
Bài tập ví dụ
Bài tập bao gồm tìm các phép tịnh tiến biến đường thẳng, điểm thành ảnh, chứng minh hợp thành phép tịnh tiến, tìm quỹ tích ảnh của điểm trên đường tròn qua phép tịnh tiến, xác định phương trình đường thẳng hay đường tròn ảnh qua phép tịnh tiến.
§3. Phép đối xứng trục
Định nghĩa: Phép đối xứng qua đường thẳng d biến điểm M thành điểm M’ sao cho d là trục đối xứng của M và M’ (trục trung trực đoạn MM’). Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục với trục Ox, Oy hoặc đường thẳng tổng quát được đưa ra cụ thể.
Tính chất: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách, biến điểm, đường thẳng, đoạn thẳng, tam giác, đường tròn thành hình bằng nó.
Bài tập ví dụ
- Tìm ảnh điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng trục.
- Chứng minh các tính chất về đường thẳng biến thành song song hoặc trùng, bài toán về giá trị nhỏ nhất.
§4. Phép đối xứng tâm
Định nghĩa: Phép đối xứng qua điểm I biến điểm M khác I thành điểm M’, sao cho I là trung điểm của MM'. Toạ độ ảnh của điểm M qua tâm đối xứng được tính cụ thể. Tính chất tương tự các phép dời hình.
Bài tập kèm theo gồm tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn qua phép đối xứng tâm, chứng minh tính chất song song, quỹ tích, hình học tọa độ và các bài toán ứng dụng.
§5. Phép quay
Định nghĩa: Phép quay tâm O góc quay ( varphi ) biến điểm M thành M’ sao cho ( OM = OM' ) và góc ( (OM, OM') = varphi ). Biểu thức tọa độ phép quay được đưa ra cho tâm trùng và không trùng gốc toạ độ.
Tính chất: Bảo toàn khoảng cách, biến đường thẳng thành đường thẳng, tam giác và đường tròn thành hình bằng nó. Bài tập yêu cầu tính ảnh điểm, đường thẳng, tam giác qua phép quay, dựng hình.
§6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách. Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có phép dời hình biến hình này thành hình kia. Các bài tập yêu cầu chứng minh trọng tâm biến đổi theo phép dời hình, các tính chất về hình chữ nhật, hình bình hành, dựng phép dời hình, và bài toán chứng minh hai hình bằng nhau.
§7. Phép vị tự
Định nghĩa: Phép vị tự tâm O tỉ số k biến điểm M thành M’ sao cho ( OM' = |k| , OM ). Biểu thức tọa độ được cho cụ thể. Phép vị tự nhân đoạn thẳng với tỉ số k, biến tam giác thành tam giác đồng dạng tỉ số k, đường tròn thành đường tròn bán kính nhân k.
Bài tập bao gồm viết phương trình ảnh đường thẳng, đường tròn qua phép vị tự, tìm phép vị tự biến hình, chứng minh phép vị tự biến tam giác ABC thành tam giác các trung điểm.
§8. Phép đồng dạng
Phép đồng dạng là phép biến hình biến đoạn thẳng, tam giác, đường tròn thành hình đồng dạng với tỉ số k > 0. Là hợp thành của phép vị tự và phép dời hình. Chứng minh các tính chất bảo toàn thứ tự, biến đổi các loại hình, trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp biến đổi theo phép đồng dạng.
Bài tập ứng dụng gồm xác định ảnh tam giác qua phép đồng dạng, viết phương trình đường thẳng, đường tròn ảnh qua phép đồng dạng, chứng minh đồng dạng giữa các hình, tính diện tích thiết diện.
Chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian – Quan hệ song song
§1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Tồn tại duy nhất đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
- Mặt phẳng được xác định qua ba điểm không thẳng hàng hoặc một điểm và một đường thẳng không qua điểm đó, hoặc hai đường thẳng cắt nhau.
- Tính chất về giao tuyến của hai mặt phẳng, cắt tại một đường thẳng.
Bài tập mẫu có tìm giao tuyến của các mặt phẳng và giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, ứng dụng trong các hình chóp, tứ diện.
§2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Hai đường thẳng chéo nhau không nằm chung mặt phẳng.
- Qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
- Hệ quả về giao tuyến ba mặt phẳng, các định lý về đồng phẳng và song song.
Bài tập bao gồm chứng minh hai đường thẳng song song, tìm giao tuyến, thiết diện, chứng minh các tính chất hình học trong hình chóp, tứ diện, lăng trụ.
§3. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Khi một đường thẳng song song với một đường thẳng trong mặt phẳng thì nó song song với mặt phẳng đó. Định lý và tính chất kèm bài tập minh họa chứng minh, sử dụng trong các hình đa diện.
§4. Hai mặt phẳng song song
Định nghĩa: Hai mặt phẳng không có điểm chung gọi là song song.
Định lý và các hệ quả về hai mặt phẳng song song, với đặc điểm mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với mặt phẳng khác cũng sẽ song song.
Ứng dụng trong các loại hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp cụt, các bài toán dựng thiết diện song song.
§5. Phép chiếu song song
Giới thiệu phép chiếu song song lên một mặt phẳng theo một phương chiếu xác định. Các tính chất của phép chiếu như bảo toàn tính thẳng hàng, biến đường thẳng thành đường thẳng, bảo toàn tỉ số đoạn thẳng trên các đường thẳng song song.
Bài tập ứng dụng dựng hình chiếu song song của các hình không gian, xác định trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp theo hình chiếu.
Kết luận: Tài liệu gồm phần lý thuyết trọng tâm kèm theo hệ thống bài tập ví dụ chi tiết, phân dạng rõ ràng giúp học sinh dễ dàng làm quen, ôn luyện và nâng cao kiến thức để sẵn sàng bước vào các kỳ thi quan trọng. Kiến thức bám sát chương trình học, đặc biệt chú trọng rèn luyện khả năng vận dụng, chứng minh và tính toán hình học không gian cũng như hình học phẳng.
