Trong chương trình hình học lớp 9, dạng bài toán về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là một phần quan trọng và thường xuất hiện trong các đề thi thử cũng như đề kiểm tra. Thầy/cô đã gặp rất nhiều bạn học sinh bỡ ngỡ khi giải loại bài này, vì thế hôm nay thầy/cô xin chia sẻ với các em phương pháp giải nhanh, hiệu quả thông qua việc phân loại và áp dụng các công thức tính bán kính mặt cầu. Các em cùng theo dõi nhé.
Phân loại bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Để giải nhanh bài toán, trước hết ta cần xác định hình chóp thuộc loại nào trong bốn loại phổ biến dưới đây. Mỗi loại sẽ có công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp đặc trưng.
- Loại 1: Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới một góc vuông.
- Loại 2: Hình chóp đều.
- Loại 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
- Loại 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp theo từng loại
Loại 1: Gọi d là độ dài đoạn thẳng nối hai đỉnh được nhắc đến. Khi thỏa mãn điều kiện góc vuông, ta có công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp:
R = d/2
Loại 2: Với hình chóp đều, gọi h là chiều cao hình chóp và k là chiều dài cạnh bên, ta áp dụng công thức:
R = k^2 / (2h)
Loại 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy. Nếu h là chiều cao hình chóp, và Rđ là bán kính đáy, thì bán kính mặt cầu được tính theo công thức:
R = √(Rđ^2 + (h/2)^2)
Loại 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy. Gọi h là chiều cao hình chóp, Rb và Rđ lần lượt là bán kính mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến của mặt bên và đáy thì:
R = √(Rb^2 + Rđ^2 – (GT^2)/4)
Bài tập minh họa
Bài này rất hay xuất hiện trong các đề thi. Các em cùng xem cách giải chi tiết nhé.
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC, tam giác ABC vuông tại B, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), và SC = 2a. Tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp này.
Giải: Các em để ý, tam giác SAC vuông tại A, tam giác SBC vuông tại B, nên hình chóp thuộc loại 1. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là:
R = SC / 2 = a
Dựa vào đó, ta có thể áp dụng các công thức tính diện tích và thể tích mặt cầu với bán kính R = a một cách dễ dàng.
Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), và SC = 2a. Yêu cầu tính diện tích và thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Giải: Ở đây, chú ý tam giác SAC vuông tại A, từ đó ta xác định được loại hình chóp và áp dụng công thức bán kính mặt cầu ngoại tiếp đúng như đã trình bày.
Qua những ví dụ này, thầy/cô khuyên các em nên luyện tập nhiều dạng bài với các loại hình chóp khác nhau để nhớ kỹ công thức và cách nhận biết đặc điểm, góp phần giải nhanh các bài toán về mặt cầu ngoại tiếp khi thi cử.
